📚 基礎知識の整理
💡 スペクトル作図のコツ
① 搬送波周波数を中心に考える
② 信号波周波数だけ左右にずれた位置に側波帯が現れる
③ 振幅は変調度や変調方式によって決まる
④ 単位は必ず明記する（Hz, kHz, MHz等）
📡 通常AM（Amplitude Modulation）
問題 AM-1
搬送波周波数 $f_c = 1000$ kHz、信号波周波数 $f_m = 5$ kHz、変調度 $m = 0.8$ の通常AM変調を行った。
搬送波の振幅を $A_c = 10$ V とするとき、変調後の信号のスペクトラムを描き、各周波数成分の振幅を求めよ。
【解答】
Step 1: 通常AMの式を確認
通常AM：$s(t) = A_c[1 + m \cos(\omega_m t)] \cos(\omega_c t)$
これを展開すると：
$s(t) = A_c \cos(\omega_c t) + \frac{A_c m}{2} \cos[(\omega_c + \omega_m)t] + \frac{A_c m}{2} \cos[(\omega_c - \omega_m)t]$
Step 2: 各周波数成分を計算
- 搬送波成分（$f_c = 1000$ kHz）：振幅 = $A_c = 10$ V
- 上側波帯（$f_c + f_m = 1005$ kHz）：振幅 = $\frac{A_c m}{2} = \frac{10 \times 0.8}{2} = 4$ V
- 下側波帯（$f_c - f_m = 995$ kHz）：振幅 = $\frac{A_c m}{2} = \frac{10 \times 0.8}{2} = 4$ V
スペクトラム図
ポイント： 通常AMでは搬送波成分が最も大きく、左右対称に側波帯が配置される。変調度が大きいほど側波帯の振幅が大きくなる。
問題 AM-2
周波数 $f_c = 500$ kHz の搬送波を、周波数 $f_m = 2$ kHz の正弦波で変調度 $m = 1.0$（100%変調）で振幅変調した。
搬送波の振幅が 20 V のとき、変調波のスペクトラムを描き、全電力に対する各成分の電力比を求めよ。
【解答】
Step 1: 100%変調の場合の振幅計算
- 搬送波（500 kHz）：振幅 = $A_c = 20$ V
- 上側波帯（502 kHz）：振幅 = $\frac{A_c m}{2} = \frac{20 \times 1.0}{2} = 10$ V
- 下側波帯（498 kHz）：振幅 = $\frac{A_c m}{2} = \frac{20 \times 1.0}{2} = 10$ V
Step 2: 電力計算（抵抗を R とする）
- 搬送波電力：$P_c = \frac{A_c^2}{2R} = \frac{20^2}{2R} = \frac{400}{2R}$
- 上側波帯電力：$P_u = \frac{10^2}{2R} = \frac{100}{2R}$
- 下側波帯電力：$P_l = \frac{10^2}{2R} = \frac{100}{2R}$
- 全電力：$P_{total} = P_c + P_u + P_l = \frac{600}{2R}$
Step 3: 電力比の計算
- 搬送波：$\frac{P_c}{P_{total}} = \frac{400}{600} = \frac{2}{3} = 66.7\%$
- 各側波帯：$\frac{P_u}{P_{total}} = \frac{P_l}{P_{total}} = \frac{100}{600} = \frac{1}{6} = 16.7\%$
スペクトラム図
重要： 100%変調時の電力比は常に 搬送波:側波帯:側波帯 = 2:1:1 となる。これは変調度 m=1.0 の特性！
問題 AM-3
搬送波周波数 800 kHz、振幅 15 V の搬送波を使用して、3 kHz と 7 kHz の2つの正弦波で同時に振幅変調を行う。
各信号波の変調度がそれぞれ 0.6 と 0.4 のとき、変調後のスペクトラムを描け。
【解答】
多信号同時変調の場合：
$s(t) = A_c[1 + m_1 \cos(\omega_{m1} t) + m_2 \cos(\omega_{m2} t)] \cos(\omega_c t)$
各信号波は独立にスペクトラムを形成する
Step 1: 第1信号波（3 kHz、m₁=0.6）による成分
- 上側波帯（803 kHz）：振幅 = $\frac{15 \times 0.6}{2} = 4.5$ V
- 下側波帯（797 kHz）：振幅 = $\frac{15 \times 0.6}{2} = 4.5$ V
Step 2: 第2信号波（7 kHz、m₂=0.4）による成分
- 上側波帯（807 kHz）：振幅 = $\frac{15 \times 0.4}{2} = 3.0$ V
- 下側波帯（793 kHz）：振幅 = $\frac{15 \times 0.4}{2} = 3.0$ V
Step 3: 搬送波成分
- 搬送波（800 kHz）：振幅 = $A_c = 15$ V（変化なし）
スペクトラム図
覚えておこう： 多信号同時変調では、各信号波ごとに独立して側波帯が生成される。搬送波は1本のまま。
🔄 DSB-SC（Double Sideband Suppressed Carrier）
問題 DSB-1
搬送波周波数 $f_c = 1200$ kHz、振幅 $A_c = 8$ V の搬送波を、周波数 $f_m = 4$ kHz、振幅 2 V の信号波で DSB-SC 変調した。
変調後のスペクトラムを描き、各周波数成分の振幅を求めよ。
【解答】
DSB-SCの特徴：
・搬送波成分が抑圧される（振幅0）
・上下の側波帯のみが残る
変調信号：$s(t) = A_c A_m \cos(\omega_m t) \cos(\omega_c t)$
Step 1: DSB-SC の式を展開
$s(t) = A_c A_m \cos(\omega_m t) \cos(\omega_c t)$
三角関数の積の公式より：
$s(t) = \frac{A_c A_m}{2}[\cos((\omega_c + \omega_m)t) + \cos((\omega_c - \omega_m)t)]$
Step 2: 各周波数成分の振幅計算
- 搬送波（1200 kHz）：振幅 = 0 V（抑圧される）
- 上側波帯（1204 kHz）：振幅 = $\frac{8 \times 2}{2} = 8$ V
- 下側波帯（1196 kHz）：振幅 = $\frac{8 \times 2}{2} = 8$ V
スペクトラム図
ポイント： DSB-SCでは搬送波がないため、電力効率が通常AMより良い。しかし復調にはコヒーレント検波が必要。
問題 DSB-2
2つの異なる周波数 $f_{m1} = 1$ kHz, $f_{m2} = 6$ kHz の信号波で、搬送波周波数 $f_c = 900$ kHz を同時に DSB-SC 変調した。
搬送波振幅 10 V、各信号波振幅がそれぞれ 1.5 V, 2.5 V のとき、スペクトラムを描け。
【解答】
Step 1: 多信号DSB-SCの式
$s(t) = A_c [A_{m1} \cos(\omega_{m1} t) + A_{m2} \cos(\omega_{m2} t)] \cos(\omega_c t)$
各信号波は独立に側波帯を形成
Step 2: 第1信号波（1 kHz）による成分
- 上側波帯（901 kHz）：振幅 = $\frac{10 \times 1.5}{2} = 7.5$ V
- 下側波帯（899 kHz）：振幅 = $\frac{10 \times 1.5}{2} = 7.5$ V
Step 3: 第2信号波（6 kHz）による成分
- 上側波帯（906 kHz）：振幅 = $\frac{10 \times 2.5}{2} = 12.5$ V
- 下側波帯（894 kHz）：振幅 = $\frac{10 \times 2.5}{2} = 12.5$ V
Step 4: 搬送波
- 搬送波（900 kHz）：振幅 = 0 V（抑圧）
スペクトラム図
注意： DSB-SCでは各信号波が独立して側波帯を作るため、合計4本のスペクトル線が現れる。
問題 DSB-3
DSB-SC変調において、信号波が $m(t) = 3\cos(2\pi \times 2000t) + 2\cos(2\pi \times 5000t)$ V、
搬送波が $c(t) = 10\cos(2\pi \times 800000t)$ V のとき、変調波のスペクトラムを求めよ。
また、このとき送信される全電力を求めよ（抵抗値 R = 50 Ω）。
【解答】
Step 1: 与えられた信号の解析
- 信号波1：振幅3V、周波数2kHz
- 信号波2：振幅2V、周波数5kHz
- 搬送波：振幅10V、周波数800kHz
Step 2: DSB-SC変調後の信号
$s(t) = m(t) \times c(t) = [3\cos(2\pi \times 2000t) + 2\cos(2\pi \times 5000t)] \times 10\cos(2\pi \times 800000t)$
Step 3: 各成分のスペクトル計算
第1成分（2kHz信号）：
- 上側波帯（802 kHz）：振幅 = $\frac{3 \times 10}{2} = 15$ V
- 下側波帯（798 kHz）：振幅 = $\frac{3 \times 10}{2} = 15$ V
第2成分（5kHz信号）：
- 上側波帯（805 kHz）：振幅 = $\frac{2 \times 10}{2} = 10$ V
- 下側波帯（795 kHz）：振幅 = $\frac{2 \times 10}{2} = 10$ V
Step 4: 全電力の計算
各成分の電力（R = 50Ω）：
- 798 kHz: $P_1 = \frac{15^2}{2 \times 50} = \frac{225}{100} = 2.25$ W
- 795 kHz: $P_2 = \frac{10^2}{2 \times 50} = \frac{100}{100} = 1.0$ W
- 802 kHz: $P_3 = \frac{15^2}{2 \times 50} = \frac{225}{100} = 2.25$ W
- 805 kHz: $P_4 = \frac{10^2}{2 \times 50} = \frac{100}{100} = 1.0$ W
全電力： $P_{total} = 2.25 + 1.0 + 2.25 + 1.0 = 6.5$ W
スペクトラム図
📶 SSB（Single Sideband）
問題 SSB-1
搬送波周波数 $f_c = 1500$ kHz の搬送波を、周波数 $f_m = 3$ kHz の信号波で上側波帯（USB）単側波帯変調した。
変調前の搬送波振幅が 12 V、信号波振幅が 4 V のとき、SSB変調後のスペクトラムを描け。
【解答】
SSBの特徴：
・搬送波が抑圧される
・片側の側波帯のみが伝送される
・帯域幅がAMの半分になる
USB：$s(t) = \frac{A_c A_m}{2} \cos[(\omega_c + \omega_m)t]$
Step 1: USB-SSB変調の計算
上側波帯のみが残る：
- 周波数：$f_c + f_m = 1500 + 3 = 1503$ kHz
- 振幅：$\frac{12 \times 4}{2} = 24$ V
Step 2: 抑圧される成分
- 搬送波（1500 kHz）：振幅 = 0 V
- 下側波帯（1497 kHz）：振幅 = 0 V
スペクトラム図
利点： SSBは帯域幅が狭く、電力効率が良い。しかし復調回路が複雑になる。
問題 SSB-2
下側波帯（LSB）SSB変調において、搬送波周波数 2000 kHz、2つの信号波（1 kHz, 4 kHz）で同時変調する。
搬送波振幅 8 V、各信号波振幅が 3 V, 2 V のとき、変調後のスペクトラムを描け。
【解答】
Step 1: LSB-SSB変調の計算
下側波帯のみが残る：
第1信号波（1 kHz、振幅3V）：
- 周波数：$f_c - f_{m1} = 2000 - 1 = 1999$ kHz
- 振幅：$\frac{8 \times 3}{2} = 12$ V
第2信号波（4 kHz、振幅2V）：
- 周波数：$f_c - f_{m2} = 2000 - 4 = 1996$ kHz
- 振幅：$\frac{8 \times 2}{2} = 8$ V
Step 2: 抑圧される成分
- 搬送波（2000 kHz）：振幅 = 0 V
- 上側波帯（2001, 2004 kHz）：振幅 = 0 V
スペクトラム図
注意： LSB変調では、高い周波数の信号波ほど搬送波から遠い位置に配置される。
問題 SSB-3
音声信号の周波数帯域が 300 Hz〜3400 Hz の場合、搬送波周波数 10 MHz でUSB-SSB変調を行ったとき、
変調後の信号が占有する周波数帯域を求め、スペクトラムの概形を描け。また、同じ条件でAM変調した場合との帯域幅を比較せよ。
【解答】
Step 1: USB-SSB変調後の周波数範囲
音声信号：300 Hz 〜 3400 Hz
搬送波：10 MHz = 10,000 kHz
USB変調後の範囲：
- 最低周波数：$f_c + 300$ Hz $= 10,000.3$ kHz
- 最高周波数：$f_c + 3400$ Hz $= 10,003.4$ kHz
- 占有帯域幅：$3400 - 300 = 3100$ Hz $= 3.1$ kHz
Step 2: AM変調の場合との比較
通常AM変調の場合：
- LSB：$(10,000 - 3.4)$ kHz 〜 $(10,000 - 0.3)$ kHz
- 搬送波：$10,000$ kHz
- USB：$(10,000 + 0.3)$ kHz 〜 $(10,000 + 3.4)$ kHz
- 総帯域幅：$2 \times 3.1 = 6.2$ kHz
USB-SSB スペクトラム
AM スペクトラム（比較用）
SSBの利点：
① 帯域幅がAMの半分（3.1 kHz vs 6.2 kHz）
② 電力効率が良い（搬送波電力不要）
③ 同じ帯域に2倍の通信チャンネルを設置可能
📺 VSB（Vestigial Sideband）
問題 VSB-1
搬送波周波数 $f_c = 500$ kHz で、信号波周波数範囲 0〜6 kHz の VSB 変調を行う。
上側波帯は完全に、下側波帯は 2 kHz まで部分的に伝送するとき、伝送される周波数範囲とスペクトラムの概形を描け。
【解答】
VSBの特徴：
・一方の側波帯は完全に伝送
・もう一方の側波帯は部分的に伝送
・SSBとAMの中間的な方式
・テレビ放送などで使用
Step 1: 伝送される周波数範囲の計算
上側波帯（完全伝送）：
- 範囲：$(f_c + 0)$ 〜 $(f_c + 6)$ kHz
- 実際：$500$ 〜 $506$ kHz
下側波帯（部分伝送、2kHzまで）：
- 範囲：$(f_c - 2)$ 〜 $(f_c - 0)$ kHz
- 実際：$498$ 〜 $500$ kHz
搬送波：$500$ kHz（通常は部分的に残る）
Step 2: 総占有帯域幅
$506 - 498 = 8$ kHz
VSB スペクトラム
応用例： VSBは映像信号の伝送に適している。映像信号は低周波成分が多いため、完全な両側波帯は不要。
問題 VSB-2
デジタルテレビ放送で使用される VSB-8 方式を模擬した変調について考える。
搬送波周波数 100 MHz、信号帯域幅 6 MHz で、下側波帯を 0.31 MHz だけ残留させる VSB 変調のスペクトラムを描け。
【解答】
Step 1: VSB変調パラメータ
- 搬送波周波数：$f_c = 100$ MHz
- 信号帯域幅：$6$ MHz
- 下側波帯残留：$0.31$ MHz
Step 2: 各成分の周波数範囲
上側波帯（完全）：
下側波帯（残留）：
- 範囲：$(100 - 0.31)$ 〜 $100$ MHz
- 実際：$99.69$ 〜 $100$ MHz
搬送波：$100$ MHz（パイロット信号として残存）
Step 3: 総占有帯域幅
$106 - 99.69 = 6.31$ MHz
VSB-8 スペクトラム
VSB-8の特徴：
・帯域効率とコスト効率の良いバランス
・SSBより復調が容易
・DSBより帯域幅が狭い
問題 VSB-3
音声・映像複合信号の VSB 変調について考える。映像信号は 0〜4.2 MHz、音声信号は 4.5 MHz の副搬送波を使用する。
主搬送波 200 MHz で VSB 変調（下側波帯 1.25 MHz まで残留）したとき、全体のスペクトラムを描け。
【解答】
Step 1: 信号成分の整理
- 主搬送波：$f_c = 200$ MHz
- 映像信号：$0$ 〜 $4.2$ MHz
- 音声副搬送波：$4.5$ MHz
- 下側波帯残留：$1.25$ MHz
Step 2: 映像信号のVSB変調
上側波帯（映像）：
下側波帯（映像、残留）：
- 範囲：$(200 - 1.25)$ 〜 $200$ MHz
- 実際：$198.75$ 〜 $200$ MHz
Step 3: 音声信号の配置
音声副搬送波：$200 + 4.5 = 204.5$ MHz
Step 4: 総占有帯域幅
$204.5 - 198.75 = 5.75$ MHz
複合VSB スペクトラム
実用例： これはアナログテレビ放送の周波数配置に類似している。映像と音声を効率的に同時伝送できる。