FM変調スペクトル解析 問題演習

🔄 FM変調の復習

周波数変調(FM)では、搬送波の周波数が信号波の振幅に比例して変化します。

基本式

FM信号: $s(t) = A\cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$

変調指数: $\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$ （$\Delta f$: 最大周波数偏移）

必要帯域幅(Carson則): $B = 2(\Delta f + f_m) = 2f_m(\beta + 1)$

スペクトル成分: FM信号は搬送波と無数のサイドバンドを持ち、各成分の振幅はベッセル関数$J_n(\beta)$で決まります。

1 基本的なFMスペクトル

搬送波周波数$f_c = 100$ MHz、変調周波数$f_m = 1$ kHz、変調指数$\beta = 2$のFM信号について以下を求めよ：

  1. スペクトルの概形を描け
  2. 主要なスペクトル成分の周波数を求めよ
  3. 必要な送信帯域幅を求めよ

解答

1. スペクトル概形

99.998 99.999 100.000 100.001 100.002 周波数 (MHz) 振幅 |J₀(2)| |J₁(2)| |J₂(2)|

2. 主要スペクトル成分

  • 搬送波: $f_c = 100.000$ MHz
  • 1次サイドバンド: $f_c ± f_m = 100.000 ± 0.001 = 99.999, 100.001$ MHz
  • 2次サイドバンド: $f_c ± 2f_m = 100.000 ± 0.002 = 99.998, 100.002$ MHz

3. 必要帯域幅

Carson則により：$B = 2f_m(\beta + 1) = 2 × 1000 × (2 + 1) = 6000$ Hz = 6 kHz

2 変調指数と搬送波抑制

FM信号において、搬送波成分が零になる変調指数$\beta$の値を2つ求めよ。また、$\beta = 2.4$付近でのスペクトル概形を描け。

解答

搬送波成分は$J_0(\beta)$で表される。$J_0(\beta) = 0$となる最初の2つの値は：

  • $\beta_1 \approx 2.405$
  • $\beta_2 \approx 5.520$

$\beta = 2.4$でのスペクトル概形

-3fm -2fm -fm fc +fm +2fm +3fm ≈0 周波数 振幅

$\beta = 2.4$では$J_0(2.4) \approx 0$のため搬送波が抑制され、エネルギーがサイドバンドに集中する。

3 帯域幅の比較

音声信号（最高周波数3 kHz）をFM変調する場合を考える。最大周波数偏移$\Delta f = 75$ kHzのとき：

  1. 変調指数$\beta$を求めよ
  2. Carson則による必要帯域幅を求めよ
  3. 同じ音声信号をAM変調した場合の帯域幅と比較せよ

解答

1. 変調指数

$\beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{75000}{3000} = 25$

2. FM変調の必要帯域幅

$B_{FM} = 2(\Delta f + f_m) = 2(75000 + 3000) = 156$ kHz

3. AM変調との比較

$B_{AM} = 2f_m = 2 × 3000 = 6$ kHz

AM スペクトル fc fc+3k fc-3k FM スペクトル fc fc-75k fc+75k 6 kHz 156 kHz

結論: FM変調はAM変調の約26倍の帯域幅が必要だが、雑音に強いという利点がある。

4 ベッセル関数とスペクトル成分

$\beta = 1.0$のFM信号について：

  1. $J_0(1.0)$、$J_1(1.0)$、$J_2(1.0)$の値を求めよ（小数点以下3桁まで）
  2. 搬送波と1次サイドバンドの電力比を求めよ
  3. スペクトル図を描け

解答

1. ベッセル関数の値

  • $J_0(1.0) = 0.765$
  • $J_1(1.0) = 0.440$
  • $J_2(1.0) = 0.115$

2. 電力比

搬送波電力 ∝ $J_0^2(1.0) = (0.765)^2 = 0.585$

1次サイドバンド電力（片側） ∝ $J_1^2(1.0) = (0.440)^2 = 0.194$

電力比 = $\frac{0.585}{0.194} = 3.02$ = 4.8 dB

3. スペクトル図

0.8 0.6 0.4 0.2 0 fc-2fm fc-fm fc fc+fm fc+2fm 0.115 0.440 0.765 0.440 0.115 周波数 |Jn(β)|
5 広帯域FM vs 狭帯域FM

以下の2つのFM信号を比較せよ：

それぞれについて変調指数と必要帯域幅を求め、どちらが狭帯域FM/広帯域FMに分類されるか判定せよ。

解答

信号A

$\beta_A = \frac{5000}{1000} = 5$

$B_A = 2(5000 + 1000) = 12$ kHz

信号B

$\beta_B = \frac{75000}{1000} = 75$

$B_B = 2(75000 + 1000) = 152$ kHz

狭帯域FM (β = 5) fc fc+fm fc-fm 12 kHz 広帯域FM (β = 75) fc fc-75k fc+75k 152 kHz

分類

  • 信号A: $\beta = 5 > 1$ → 広帯域FM（ただし比較的狭い）
  • 信号B: $\beta = 75 >> 1$ → 典型的な広帯域FM

判定基準: $\beta < 1$ → 狭帯域FM、$\beta >> 1$ → 広帯域FM

6 複数の変調周波数

2つの正弦波で同時に変調されるFM信号を考える：

実効変調指数と必要帯域幅を求めよ。

解答

各成分の変調指数

$\beta_1 = \frac{\Delta f_1}{f_{m1}} = \frac{10000}{1000} = 10$

$\beta_2 = \frac{\Delta f_2}{f_{m2}} = \frac{5000}{2000} = 2.5$

実効変調指数

$\beta_{eff} = \sqrt{\beta_1^2 + \beta_2^2} = \sqrt{10^2 + 2.5^2} = \sqrt{106.25} = 10.31$

最大周波数偏移

$\Delta f_{max} = \Delta f_1 + \Delta f_2 = 10 + 5 = 15$ kHz

必要帯域幅

最高変調周波数: $f_{m,max} = \max(1, 2) = 2$ kHz

$B = 2(\Delta f_{max} + f_{m,max}) = 2(15000 + 2000) = 34$ kHz

fc fc-1k fc+1k fc-2k fc+2k 34 kHz 複数変調によるスペクトル
7 電力効率の計算

$\beta = 3$のFM信号について：

  1. 搬送波に含まれる電力の割合を求めよ
  2. 有効サイドバンド（$|J_n(\beta)| > 0.01$）の次数を決定せよ
  3. 全電力の95%を含むのに必要な帯域幅を求めよ

解答

1. 搬送波電力の割合

$J_0(3) = -0.260$ （負の値だが電力は振幅の2乗）

搬送波電力割合 = $J_0^2(3) = (-0.260)^2 = 0.068 = 6.8\%$

2. 有効サイドバンドの次数

  • $|J_0(3)| = 0.260 > 0.01$ ✓
  • $|J_1(3)| = 0.339 > 0.01$ ✓
  • $|J_2(3)| = 0.486 > 0.01$ ✓
  • $|J_3(3)| = 0.309 > 0.01$ ✓
  • $|J_4(3)| = 0.132 > 0.01$ ✓
  • $|J_5(3)| = 0.043 > 0.01$ ✓
  • $|J_6(3)| = 0.011 > 0.01$ ✓
  • $|J_7(3)| = 0.002 < 0.01$ ✗

有効サイドバンド: $n = 0$ から $n = ±6$

3. 95%電力帯域幅

-6fm -4fm -2fm fc +2fm +4fm +6fm 95%電力帯域幅 β = 3 のスペクトル

95%電力を含む帯域幅 ≈ $2 × 4f_m = 8f_m$

（Carson則: $B = 2f_m(\beta + 1) = 8f_m$ と一致）

8 実用的なFM放送の設計

FM放送局の設計を考える。以下の仕様で送信システムを設計せよ：

この仕様が適切かどうか、Carson則に基づいて検証せよ。

解答

変調指数の計算

最高変調周波数: $f_{m,max} = 15$ kHz

変調指数: $\beta = \frac{\Delta f_{max}}{f_{m,max}} = \frac{75000}{15000} = 5$

必要帯域幅（Carson則）

$B = 2(\Delta f + f_m) = 2(75000 + 15000) = 180$ kHz

設計の検証

FM放送チャンネル配置 Ch.1 180kHz Ch.2 180kHz 200kHz間隔 ガードバンド: 20kHz 周波数 →

結論

  • 必要帯域幅: 180 kHz
  • チャンネル間隔: 200 kHz
  • ガードバンド: 200 - 180 = 20 kHz

設計評価: ガードバンドが20 kHzあるため、隣接チャンネル干渉を十分に抑制できる適切な設計である。

音質向上のメリット

  • 広帯域FM（β = 5）により高いS/N比を実現
  • 15 kHzまでの音声帯域で高音質再生が可能
  • AM放送（9 kHz帯域）の20倍の帯域幅で豊かな音質