FM信号スペクトル解析

問題演習 - 変調指数とスペクトル特性
問題1: 基本的なFM信号のスペクトル ▼

問題:

搬送波周波数 \(f_c = 100\) MHz、変調信号周波数 \(f_m = 1\) kHz、変調指数 \(\beta = 1\) のFM信号について：

  1. スペクトルの概形を描け
  2. 主要な周波数成分を求めよ
  3. 必要な帯域幅を求めよ

解答:

FM信号: \(s(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))\)

変調指数 \(\beta = 1\) の場合、ベッセル関数の値は：

  • \(J_0(1) = 0.765\)
  • \(J_1(1) = 0.440\)
  • \(J_2(1) = 0.115\)
FM信号スペクトル (β = 1)
周波数 (MHz) 振幅 99 100 101 102 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.765A 0.44A 0.44A 0.115A 0.115A

主要な周波数成分:

  • 搬送波: 100 MHz (振幅: 0.765A)
  • 第1サイドバンド: 99 MHz, 101 MHz (振幅: 0.440A)
  • 第2サイドバンド: 98 MHz, 102 MHz (振幅: 0.115A)
必要帯域幅: \(BW = 2(\beta + 1)f_m = 2(1 + 1) \times 1 = 4\) kHz
問題2: 狭帯域FM (β < 1) ▼

問題:

搬送波周波数 \(f_c = 50\) MHz、変調信号周波数 \(f_m = 2\) kHz、変調指数 \(\beta = 0.5\) の狭帯域FM信号について：

  1. スペクトルの概形を描け
  2. AM信号との違いを説明せよ
  3. 必要な帯域幅を求めよ

解答:

変調指数 \(\beta = 0.5\) の場合、ベッセル関数の値は：

  • \(J_0(0.5) = 0.938\)
  • \(J_1(0.5) = 0.242\)
  • \(J_2(0.5) = 0.031\)
狭帯域FM信号スペクトル (β = 0.5)
周波数 (MHz) 振幅 49.998 50 50.002 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.938A 0.242A 0.242A

AM信号との違い:

  • AM信号では上下サイドバンドの位相が同相
  • FM信号では上下サイドバンドの位相が90°異なる
  • 搬送波の振幅がわずかに減少する（AM信号では変化なし）
必要帯域幅: \(BW = 2(\beta + 1)f_m = 2(0.5 + 1) \times 2 = 6\) kHz
問題3: 広帯域FM (β > 1) ▼

問題:

搬送波周波数 \(f_c = 88\) MHz、変調信号周波数 \(f_m = 5\) kHz、変調指数 \(\beta = 3\) の広帯域FM信号について：

  1. スペクトルの概形を描け
  2. 主要なサイドバンドを特定せよ
  3. カーソンの法則で帯域幅を求めよ

解答:

変調指数 \(\beta = 3\) の場合、ベッセル関数の値は：

  • \(J_0(3) = -0.260\)
  • \(J_1(3) = 0.339\)
  • \(J_2(3) = 0.487\)
  • \(J_3(3) = 0.309\)
  • \(J_4(3) = 0.132\)
広帯域FM信号スペクトル (β = 3)
周波数 (MHz) 振幅 87.98 87.99 88.00 88.01 88.02 0 0.2 0.4 0.6 -0.26A 0.34A 0.34A 0.49A 0.49A 0.31A 0.31A 0.13A 0.13A

主要なサイドバンド:

  • 第2サイドバンド (\(f_c \pm 2f_m\)): 最大振幅 0.487A
  • 第1サイドバンド (\(f_c \pm f_m\)): 振幅 0.339A
  • 第3サイドバンド (\(f_c \pm 3f_m\)): 振幅 0.309A
カーソンの法則: \(BW = 2(\beta + 1)f_m = 2(3 + 1) \times 5 = 40\) kHz

注意: 搬送波成分が負の値になっているのは、\(J_0(3) < 0\)のためです。これは位相が180°反転していることを意味します。

問題4: 変調指数と周波数偏移の関係 ▼

問題:

FM信号で最大周波数偏移 \(\Delta f = 75\) kHz、変調信号周波数 \(f_m = 15\) kHzの場合：

  1. 変調指数 \(\beta\) を求めよ
  2. このFM信号の帯域幅を求めよ
  3. 変調信号周波数が \(f_m = 1\) kHzに変化した場合の変調指数と帯域幅を求めよ

解答:

変調指数: \(\beta = \frac{\Delta f}{f_m}\)

1. \(f_m = 15\) kHzの場合:

\(\beta_1 = \frac{75}{15} = 5\)

2. 帯域幅（カーソンの法則）:

\(BW_1 = 2(\beta_1 + 1)f_m = 2(5 + 1) \times 15 = 180\) kHz

3. \(f_m = 1\) kHzの場合:

\(\beta_2 = \frac{75}{1} = 75\)
\(BW_2 = 2(\beta_2 + 1)f_m = 2(75 + 1) \times 1 = 152\) kHz
変調指数と帯域幅の比較
変調信号周波数 fm (kHz) 変調指数 β 5 10 15 20 0 20 40 60 80 β=75 1kHz β=5 β = 75/fm

重要: 変調指数は変調信号周波数に反比例します。低い変調周波数では変調指数が大きくなり、より多くのサイドバンドが生成されます。

問題5: 搬送波抑制条件 ▼

問題:

FM信号において搬送波成分が完全に抑制される条件について：

  1. 搬送波が抑制される変調指数の値を求めよ
  2. その時のスペクトルの概形を描け
  3. 実用上の意義を説明せよ

ヒント: ベッセル関数の零点を利用せよ

解答:

搬送波成分が抑制される条件は \(J_0(\beta) = 0\) です。

1. 搬送波抑制の変調指数:

  • 第1零点: \(\beta = 2.405\)
  • 第2零点: \(\beta = 5.520\)
  • 第3零点: \(\beta = 8.654\)
搬送波抑制時のスペクトル (β = 2.405)
周波数 (相対) 振幅 fc-3fm fc-2fm fc-fm fc fc+fm fc+2fm fc+3fm 0 0.2 0.4 0.6 搬送波なし J1=0.52A J1=0.52A J2=0.43A J2=0.43A J3=0.20A J3=0.20A

2. β = 2.405でのベッセル関数値:

  • \(J_0(2.405) = 0\) （搬送波完全抑制）
  • \(J_1(2.405) = 0.519\)
  • \(J_2(2.405) = 0.432\)
  • \(J_3(2.405) = 0.198\)

3. 実用上の意義:

  • 電力効率の向上: 搬送波に電力を消費せず、すべての電力が情報を担うサイドバンドに集中
  • 測定・試験: FM変調器の性能評価時に搬送波リークを確認
  • 干渉軽減: 隣接チャネルへの搬送波による干渉を軽減
問題6: 多重正弦波変調 ▼

問題:

2つの正弦波で同時変調されるFM信号を考える：

変調信号: \(m(t) = \cos(2\pi f_1 t) + 0.5\cos(2\pi f_2 t)\)

ここで、\(f_1 = 1\) kHz、\(f_2 = 3\) kHz、周波数偏移感度 \(k_f = 50\) kHz/Vとする。

  1. 各変調信号に対する変調指数を求めよ
  2. スペクトルの概形を描け
  3. 必要な帯域幅を求めよ

解答:

1. 各変調信号の変調指数:

第1変調信号: \(\beta_1 = \frac{k_f \cdot A_1}{f_1} = \frac{50 \times 1}{1} = 50\)
第2変調信号: \(\beta_2 = \frac{k_f \cdot A_2}{f_2} = \frac{50 \times 0.5}{3} = 8.33\)
多重正弦波変調FM信号のスペクトル
周波数 (相対) 振幅 fc fc-3f2 fc-f1 fc+f1 fc+3f2 f1成分 f2成分 相互変調

2. スペクトル特性:

  • 主要成分: \(f_c \pm f_1\), \(f_c \pm f_2\)
  • 高次サイドバンド: \(f_c \pm nf_1 \pm mf_2\) (n, mは整数)
  • β₁ = 50と大きいため、f₁による広範囲なサイドバンドが支配的

3. 必要帯域幅:

各変調信号に対してカーソンの法則を適用：

\(BW_1 = 2(\beta_1 + 1)f_1 = 2(50 + 1) \times 1 = 102\) kHz
\(BW_2 = 2(\beta_2 + 1)f_2 = 2(8.33 + 1) \times 3 = 56\) kHz
総帯域幅: \(BW_{total} = \max(BW_1, BW_2) = 102\) kHz
問題7: PM信号とFM信号の比較 ▼

問題:

同じ正弦波変調信号 \(m(t) = \cos(2\pi f_m t)\) で変調された場合のPM信号とFM信号を比較せよ。

条件: \(f_m = 2\) kHz、PM信号の変調指数 \(\beta_{PM} = 2\)、FM信号の周波数偏移 \(\Delta f = 4\) kHz

  1. 各信号の変調指数を求めよ
  2. スペクトルの違いを図示せよ
  3. 必要帯域幅を比較せよ
  4. 変調信号周波数が変化した時の影響を説明せよ

解答:

1. 変調指数:

  • PM信号: \(\beta_{PM} = 2\) (一定)
  • FM信号: \(\beta_{FM} = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{4}{2} = 2\)
PM信号とFM信号のスペクトル比較 (fm = 2kHz)
PM信号 (β = 2) fc-2fm fc-fm fc fc+fm fc+2fm J0(2)=-0.22 J1(2)=0.58 J1(2)=0.58 J2(2)=0.35 J2(2)=0.35 FM信号 (β = 2) fc-2fm fc-fm fc fc+fm fc+2fm J0(2)=-0.22 J1(2)=0.58 J1(2)=0.58 J2(2)=0.35 J2(2)=0.35 fm=2kHzでは 同一スペクトル

2. スペクトルの違い:

この条件下では、両信号の変調指数が等しいため、スペクトルは完全に同一です。

3. 必要帯域幅:

両信号とも: \(BW = 2(\beta + 1)f_m = 2(2 + 1) \times 2 = 12\) kHz

4. 変調信号周波数変化の影響:

変調周波数変化時の変調指数比較
変調信号周波数 fm (kHz) 変調指数 β 1 2 3 4 0 2 4 6 PM信号 (β=2) FM信号 (β=4/fm)

重要な違い:

  • PM信号: 変調指数は周波数に無関係で一定
  • FM信号: 変調指数は変調周波数に反比例
  • 低周波数域: FM信号の方が広帯域になる
  • 高周波数域: PM信号の方が広帯域になる
問題8: プリエンファシス効果 ▼

問題:

FM放送で使用されるプリエンファシス回路について：

時定数 \(\tau = 75\) μsのプリエンファシス回路を通した音声信号でFM変調する場合を考える。

  1. プリエンファシス回路の周波数特性を求めよ
  2. 1 kHzと10 kHzの信号に対する変調指数の比を求めよ
  3. スペクトル分布の変化を図示せよ
  4. なぜこの処理が必要かを説明せよ

解答:

1. プリエンファシス回路の周波数特性:

\(H(j\omega) = \frac{1 + j\omega\tau}{1 + j\omega\tau/K}\)

簡単化すると：

\(|H(j\omega)| \approx 1 + j\omega\tau\) (高周波数で)
カットオフ周波数: \(f_c = \frac{1}{2\pi\tau} \approx 2123\) Hz

プリエンファシス回路は高周波数成分を強調し、低周波数成分を抑制します。

この処理により、FM変調時の高周波数成分が強調され、雑音の影響を受けにくくなります。

2. 変調指数の比:

\(\beta_{1kHz} = \frac{k_f \cdot A_{ 1kHz}}{f_{1kHz}} = \frac{50 \times 1}{1} = 50\)
\(\beta_{10kHz} = \frac{k_f \cdot A_{10kHz}}{f_{10kHz}} = \frac{50 \times 1}{10} = 5\)

変調指数の比は：

\(\frac{\beta_{1kHz}}{\beta_{10kHz}} = \frac{50}{5} = 10\)

つまり、1 kHzの信号は10倍の変調指数を持ちます。

プリエンファシス回路により、低周波数成分の変調指数が高くなり、高周波数成分の変調指数が低くなります。

3. スペクトル分布の変化:

プリエンファシス回路によるスペクトル分布の変化
周波数 (相対) 振幅 fc-3fm fc-2fm fc-fm fc fc+fm fc+2fm fc+3fm 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 kHz 10 kHz プリエンファシス 効果

4. なぜこの処理が必要か:

  • 高周波数成分の強調: 雑音の影響を受けにくくするため
  • 低周波数成分の抑制: 音声信号のダイナミックレンジを広げるため
  • 放送品質の向上: 聴取環境での音質を改善するため