📐 PM（位相変調）完全ガイド
中学・高校・大学・単位落とした人も分かるステップ解説
🎓 中学生レベル：PMって何？
⏰ 時計の針で考える
時計の針が「どこを指しているか」が「位相」。針の位置を変える＝位相変調！
例えば、目覚まし時計の針が「6時」から「7時」にずれると、起きるタイミングが変わる。PMはこの「タイミングのズレ」を使って情報を送る。
🌊 波のイメージ
波の山や谷の位置が「情報」によって左右にずれる。
たとえば、音楽のリズムが早くなったり遅くなったりする感じ。
1. 波の「タイミング」をずらす
波の山や谷の位置をずらすことで情報を伝える。
たとえば、友達とジャンプするタイミングをずらすと、合図になる。
2. FMとの違い
FMは「波の速さ（周波数）」を変える、PMは「波のタイミング（位相）」を変える。
3. PMの使われ方
PMはデジタル通信や衛星通信など、雑音に強い場面で使われる。
PM波形のイメージ
波の山や谷の位置が情報によってずれる様子をアニメーションで表示します。
💡 まとめ
- PMは「波のタイミング」を使って情報を送る方法！
- FMは「波の速さ」を変える方法！
- 日常の合図やリズムのズレもPMのイメージ。
Q&Aで復習！
- Q: PMは何を変える？
A: 波のタイミング（位相） - Q: FMとの違いは？
A: FMは速さ（周波数）、PMはタイミング（位相） - Q: どんな場面で使われる？
A: 雑音に強い通信（デジタル・衛星など）
🏫 高校生レベル：PMの数式とスペクトル
PMの基本式
$$s(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$$
$A$：振幅, $f_c$：搬送波周波数, $k_p$：位相感度, $m(t)$：情報信号
- A：波の高さ（振幅）
- 2\pi f_c t：搬送波の「基本的な波の動き」
（$f_c$は搬送波周波数、$t$は時間） - k_p m(t)：情報信号による「位相のズレ」
（$m(t)$が情報、$k_p$はどれだけ位相が動くかの係数）
つまり、2\pi f_c tが搬送波、m(t)が情報信号です。
PM式の導出（高校生向け）
まず、通常の波（搬送波）は $A \cos(2\pi f_c t)$ で表されます。
ここに「情報信号 $m(t)$」を加えて、波のタイミング（位相）をずらすと、
$$s(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$$となります。
この $k_p m(t)$ が「情報によるズレ」を作り出します。
1. 位相が変わるとどうなる？
波の山や谷の位置がずれる＝情報が載る。
たとえば、$m(t)$が大きいときほど波のタイミングが大きくズレる。
2. FMとの関係
PMの微分がFMになる（数学的に密接な関係）。
FMは「周波数＝位相の変化率」なので、PMの位相を微分するとFMになる。
3. PMの波形例
下のアニメーションで、波の山や谷が左右にズレる様子を観察しよう。
4. PMのスペクトル
PMのスペクトルは、主搬送波の周りにサイドバンド（側波帯）が現れる。
これは情報信号の周波数成分が波に乗るため。
PMスペクトルのイメージ
PMのスペクトル分布（主搬送波＋サイドバンド）を図示します。
💡 まとめ
- PMは「波の位相」を変えて情報を伝える。
- 数式で表すと $s(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$。
- FMは「周波数」を変えるが、PMは「タイミング（位相）」を変える。
Q&Aで復習！
- Q: PMの式で情報信号はどこ？
A: $k_p m(t)$ の部分 - Q: FMとの違いは？
A: FMは $m(t)$ を積分して位相に反映 - Q: PMのスペクトルはどうなる？
A: 主搬送波の周りにサイドバンドができる
🎓 大学生レベル：PMの理論・検波・他変調との比較
PMとFMの関係
$$s_{PM}(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$$
$$s_{FM}(t) = A \cos\left(2\pi f_c t + k_f \int m(t) dt\right)$$
PMは情報信号$m(t)$に比例して位相が変化、FMは$m(t)$の積分に比例して位相が変化
- FMは「周波数」を変調する方式。周波数は「位相の時間微分」なので、\( m(t) \) を積分して位相に反映させる。
- つまり、
$$ \int m(t) dt $$ が「周波数変化を位相に変換」する役割。 - PMは情報信号 \( m(t) \) が直接位相に反映されるが、FMは「周波数＝位相の変化率」なので積分が必要。
この違いがPMとFMの数式の最大のポイントです。
PM式の厳密導出
- まず、搬送波のみの式は
$$c(t) = A \cos(2\pi f_c t)$$ - ここに情報信号 $m(t)$ を「位相」に加えると、
$$s(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$$ - $k_p$ は「位相感度」で、$m(t)$の値が大きいほど位相のズレも大きくなる。
- FMの場合、周波数 $f(t)$ は位相の微分：
$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt}$$
なので、$m(t)$を積分して位相に反映する必要がある。
1. PMの帯域幅
PMの帯域幅は変調指数と情報信号の最大周波数で決まる。
$$ B_{PM} \approx 2(1 + k_p)f_m $$
2. PMの検波方法
PM→FM変換（微分回路）→FM検波器で復調
または位相検波器（PLL）で直接復調
（Wikipediaより）
3. PMの応用例
PMはデジタル通信（QPSKなど）、衛星通信、無線LANなどで使われる。
雑音に強く、誤り訂正技術と組み合わせやすい。
4. FM/AM/PMの比較
| 方式 | 変調対象 | 雑音耐性 | 主な用途 |
|---|---|---|---|
| AM | 振幅 | 弱い | ラジオ放送 |
| FM | 周波数 | 強い | FMラジオ |
| PM | 位相 | 強い | デジタル通信・衛星通信 |
💡 まとめ
- PMはFMと密接な関係があり、応用範囲も広い。
- 検波はFM検波器やPLLで可能。
- 帯域幅や雑音耐性も理解しよう。
Q&Aで復習！
- Q: PMとFMの数式の違いは？
A: FMは $m(t)$ を積分して位相に反映 - Q: PMの帯域幅は何で決まる？
A: 変調指数と情報信号の最大周波数 - Q: PMの応用例は？
A: デジタル通信、衛星通信、無線LANなど
😅 単位落とした人用：PMを一から
🤝 まずは「波のタイミング」だけ覚えよう！
PMは「波のタイミング（位相）」をずらして情報を送る方法。
FMは「波の速さ（周波数）」を変える方法。
たとえば、友達とジャンプするタイミングをずらすと「合図」になる。これがPMのイメージ。
PMのイメージ図解
青：AM、オレンジ：FM、緑：PM。PMは波の山や谷の位置がズレる！
1. 式は気にしなくてOK
「波のタイミングが変わる」＝PMと覚えよう！
難しい式は後回しでOK。
2. FMとの違いだけ意識
FMは「速さ」、PMは「タイミング」
FMは波の速さが変わる、PMは波の位置がズレる。
3. PMの使われ方
PMは雑音に強いので、デジタル通信や衛星通信でよく使われる。
4. 例え話で覚えよう
「ジャンプのタイミング」「拍手のタイミング」など、タイミングのズレが合図になる場面はPMのイメージ。
💡 まとめ
- PMは「タイミング変化」で情報を送る。まずはイメージでOK！
- FMは「速さ変化」で情報を送る。
- 雑音に強いのがPMの特徴。
Q&Aで復習！
- Q: PMは何を変える？
A: 波のタイミング（位相） - Q: FMとの違いは？
A: FMは速さ（周波数）、PMはタイミング（位相） - Q: どんな場面で使われる？
A: 雑音に強い通信（デジタル・衛星など）
PM・FM・AMの違いを図で！
（Wikipediaより）
FMとPMの共通点・相違点まとめ
| 項目 | FM（周波数変調） | PM（位相変調） |
|---|---|---|
| 共通点 | ・どちらも「角変調」 ・雑音に強い ・搬送波の性質を変えて情報を載せる ・AMより高品質な通信が可能 | |
| 変調する対象 | 周波数 | 位相 |
| 数式 | $s_{FM}(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_f \int m(t) dt)$ | $s_{PM}(t) = A \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$ |
| 情報信号の扱い | 積分して位相に反映 | 直接位相に反映 |
| 主な用途 | FMラジオ、無線通信 | デジタル通信、衛星通信 |
- 共通点： どちらも搬送波の「角度（位相・周波数）」を変えて情報を載せる。雑音に強い。
- 相違点： FMは「速さ（周波数）」、PMは「タイミング（位相）」を変える。数式も異なり、FMは積分、PMは直接。