電磁波の波動方程式導出

1. ベクトル成分の定義

仮定に基づいて、各ベクトルの成分は以下のようになります：

ベクトル	x成分	y成分	z成分	説明
電界 E	Ex(z,t)	0	0	x軸方向にのみ振動
磁界 B	0	By(z,t)	0	y軸方向にのみ振動

\boldsymbol{E} = E_x(z,t)\hat{x} + 0\hat{y} + 0\hat{z} = E_x(z,t)\hat{x}$ $\boldsymbol{B} = 0\hat{x} + B_y(z,t)\hat{y} + 0\hat{z} = B_y(z,t)\hat{y}

\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \quad \text{(ファラデーの法則)}$ $\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \quad \text{(アンペール・マクスウェルの法則)}

回転の一般形：

\nabla \times \boldsymbol{E} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{array}\right|

我々の場合：$E_x = E_x(z,t)$, $E_y = 0$, $E_z = 0$

\nabla \times \boldsymbol{E} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x(z,t) & 0 & 0 \end{array}\right|

展開すると：

\nabla \times \boldsymbol{E} = \hat{x}\left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial 0}{\partial z}\right) - \hat{y}\left(\frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z}\right) + \hat{z}\left(\frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right)

$\nabla \times \boldsymbol{E} = 0\hat{x} + \frac{\partial E_x}{\partial z}\hat{y} + 0\hat{z} = \frac{\partial E_x}{\partial z}\hat{y}$

我々の場合：$B_x = 0$, $B_y = B_y(z,t)$, $B_z = 0$

\nabla \times \boldsymbol{B} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & B_y(z,t) & 0 \end{array}\right|

展開すると：

\nabla \times \boldsymbol{B} = \hat{x}\left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z}\right) - \hat{y}\left(\frac{\partial 0}{\partial x} - \frac{\partial 0}{\partial z}\right) + \hat{z}\left(\frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial 0}{\partial y}\right)

$\nabla \times \boldsymbol{B} = -\frac{\partial B_y}{\partial z}\hat{x} + 0\hat{y} + 0\hat{z} = -\frac{\partial B_y}{\partial z}\hat{x}$

\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = \frac{\partial E_x}{\partial t}\hat{x}$ $\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = \frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{y}

\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$ $\frac{\partial E_x}{\partial z}\hat{y} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{y}

y成分を比較すると：

$$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t} \quad \cdots (1)$$

\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$ $-\frac{\partial B_y}{\partial z}\hat{x} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}\hat{x}

x成分を比較すると：

$$-\frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t} \quad \cdots (2)$$

式(1)をzで微分：

\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = -\frac{\partial^2 B_y}{\partial z \partial t}

式(2)をtで微分：

-\frac{\partial^2 B_y}{\partial z \partial t} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}

両式を組み合わせると：

$$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}$$

電界の波動方程式

式(2)をzで微分：

-\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial t}

式(1)をtで微分：

\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial t} = -\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}

両式を組み合わせると：

$$\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}$$

磁界の波動方程式

📝 重要な結果： 波動方程式の標準形 $\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ と比較すると：

$$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$$
これが光速度の電磁気学的表現です！

我々が導出した波動方程式：

\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}

これらは、電磁波が光速 $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ で伝播することを示しています。

マクスウェル方程式から、電界と磁界が互いに直交し、進行方向にも直交する横波として伝播する波動方程式を導出できました。これが電磁波の本質的な性質を数学的に表現したものです。