ギッブス現象の解説
ギッブス現象は、フーリエ級数で不連続な関数（例：矩形波）を近似したとき、
不連続点付近で振動やオーバーシュート（過大現象）が生じる現象です。
近似に使う項数を増やしても、オーバーシュートの高さは約9%で収束し、消えません。
フーリエ級数による矩形波近似
$f(x) = \begin{cases} 1 & (0 < x < \pi) \\ -1 & (-\pi < x < 0) \end{cases}$
$\text{フーリエ級数展開:}\quad f_N(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...}^{N} \frac{1}{n} \sin(nx)$
矩形波（黒）とフーリエ近似 $N=5, 15, 50$（青、赤、緑）
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ギッブス現象の特徴：
- 不連続点付近でオーバーシュート（最大約9%）が生じる
- 項数 $N$ を増やすと振動の幅は狭くなるが、オーバーシュートの高さは消えない
- 信号処理・通信工学で重要な現象
数式によるギッブス現象の定量的説明
$\text{オーバーシュートの極限値:}\quad \lim_{N \to \infty} \max_{x} |f_N(x) - f(x)| \approx 0.08949 \times \text{ジャンプ幅}$
※グラフはSVGで描画しています。数式はMathJaxで整形。