📚 理論解説
両側線スペクトルとは？
周期関数のフーリエ級数表現において、各周波数成分の振幅と位相を表示する方法です。
複素フーリエ級数表現を用いることで、正と負の周波数成分を含めた「両側」のスペクトルを描画できます。
複素フーリエ級数
$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{jn\omega_0 t}$$
ここで、$C_n$は複素フーリエ係数、$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$は基本角周波数
複素フーリエ係数の計算
$$C_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$$
振幅スペクトルと位相スペクトル
- 振幅スペクトル: $|C_n|$ - 各周波数成分の大きさ
- 位相スペクトル: $\arg(C_n)$ - 各周波数成分の位相
📝 練習問題
問題1: 方形波のスペクトル
周期 $T = 2\pi$、振幅 $A = 1$ の方形波（デューティ比50%）について、複素フーリエ係数を求め、両側線スペクトルを作図してください。
$$f(t) = \begin{cases}
1 & (-\pi/2 < t < \pi/2) \\
0 & (\pi/2 < t < 3\pi/2)
\end{cases}$$
問題2: 三角波のスペクトル
周期 $T = 2\pi$、振幅 $A = 1$ の三角波について、複素フーリエ係数を求め、両側線スペクトルを作図してください。
$$f(t) = \begin{cases}
\frac{2t}{\pi} & (-\pi/2 < t < \pi/2) \\
2 - \frac{2t}{\pi} & (\pi/2 < t < 3\pi/2)
\end{cases}$$
🎨 インタラクティブ作図ツール
📋 解法の手順
1
波形の数式表現を確認
与えられた周期関数 $f(t)$ の数学的表現を正確に把握します。区間ごとの定義に注意しましょう。
2
基本角周波数を求める
$$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$$
周期 $T$ から基本角周波数 $\omega_0$ を計算します。
3
複素フーリエ係数の積分計算
$$C_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$$
区間ごとに分けて積分を実行します。オイラーの公式 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ を活用しましょう。
4
振幅と位相の計算
振幅スペクトル: $|C_n| = \sqrt{\text{Re}(C_n)^2 + \text{Im}(C_n)^2}$
位相スペクトル: $\arg(C_n) = \arctan\left(\frac{\text{Im}(C_n)}{\text{Re}(C_n)}\right)$
5
スペクトル図の作成
横軸に周波数 $n\omega_0$、縦軸に振幅 $|C_n|$ および位相 $\arg(C_n)$ をプロットします。
正の周波数と負の周波数の両方を含めて描画することが重要です。
💡 重要な性質
実関数の場合の対称性
実数値関数 $f(t)$ の場合、以下の対称性が成り立ちます：
- $C_{-n} = C_n^*$（複素共役）
- $|C_{-n}| = |C_n|$（振幅スペクトルは偶関数）
- $\arg(C_{-n}) = -\arg(C_n)$（位相スペクトルは奇関数）
パーセバルの定理
$$\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |f(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |C_n|^2$$
時間領域のパワーと周波数領域のパワーは等しくなります。
ギブス現象
不連続点を持つ関数では、有限項のフーリエ級数で近似する際にオーバーシュートが発生します（ギブス現象）。