📡 FM帯域幅の完全解説

Carson規則とBessel関数の直感的理解

🎯 このページで学べること
・FM信号の周波数スペクトラムの構造
・Carson規則による帯域幅の実用計算
・Bessel関数の物理的意味を図解で理解
・狭帯域FMと広帯域FMの違い

1. 🌈 FM信号のスペクトラム - 虹のような広がり

💡 FMスペクトラムの特徴
AMは搬送波の両側に2本だけの側波帯ができますが、FMは無限に多くの側波帯が現れます！
でも実際には、重要な成分は限られているので心配無用です。

📊 AM vs FM スペクトラムの比較

2. 📏 Carson規則 - 実用的な帯域幅計算

🎯 Carson規則（実用帯域幅）
$$BW = 2(\Delta f + f_m)$$

$\Delta f$：周波数偏移（Hz）
$f_m$：変調信号周波数（Hz）

🤔 なぜCarson規則が有効なのか？

理論的には無限の側波帯
Bessel関数により、FM信号は理論上無限の側波帯を持ちます。
でも実際は、エネルギーの98%以上が限られた範囲に集中！

実用的な「切り捨て」
Carson規則は、重要な側波帯だけを考慮した実用公式です。
無視される成分は全体の2%以下なので、実用上問題なし！

変調指数βとの関係
$$\beta = \frac{\Delta f}{f_m}$$ なので：
$$BW = 2f_m(\beta + 1)$$
変調指数が大きいほど帯域幅も広くなる！

3. 🔍 Bessel関数の直感的理解

💡 Bessel関数って何？
FM信号の各側波帯の大きさ（振幅）を決める特殊な関数です。
変調指数βの値によって、どの側波帯が強くなるかが決まります。

🟢 狭帯域FM (β < 1)

搬送波：大

1次側波帯：中

高次側波帯：小

💭 AMに似た感じ！
搬送波が支配的

🔴 広帯域FM (β > 1)

搬送波：変動大

多数の側波帯：重要

複雑なスペクトラム

💭 エネルギーが広く分散
βによって搬送波消失も

📊 変調指数βによるスペクトラム変化デモ

β = 0.5

狭帯域FM

β = 2.4

搬送波消失点

β = 5

広帯域FM

4. 📊 帯域幅の具体例と計算

🎵 実際の応用例

用途	Δf (kHz)	fm (kHz)	β	Carson BW (kHz)	特徴
FM放送	75	15	5	180	高品質音声
無線通信	5	3	1.67	16	音声通信
狭帯域FM	2.5	3	0.83	11	省電力通信
携帯電話（古い）	12	3	4	30	音声品質重視

🧮 計算例：FM放送の場合

与えられた条件
・最大周波数偏移：Δf = 75 kHz
・最大音声周波数：fm = 15 kHz
（実際のFM放送規格値）

変調指数の計算
$$\beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{75 \text{ kHz}}{15 \text{ kHz}} = 5$$
β = 5 → 広帯域FMです！

Carson規則で帯域幅計算
$$BW = 2(\Delta f + f_m)$$
$$BW = 2(75 + 15) = 2 \times 90 = 180 \text{ kHz}$$

実際のFM放送規格との比較
FM放送の標準チャンネル間隔：200 kHz
Carson規則：180 kHz

✅ ほぼ一致！Carson規則は実用的で正確！

5. 🔬 狭帯域FMと広帯域FMの詳細

狭帯域FM (β < 1)	広帯域FM (β > 1)
📊 スペクトラム特性・搬送波が支配的・1次側波帯が主要・高次成分は小さい・AMに近い見た目 📱 用途・携帯無線機・業務用通信・省電力通信 ⚡ 特徴・帯域幅が狭い・電力効率が良い・音質はそこそこ	📊 スペクトラム特性・多数の側波帯・搬送波が変動・複雑なスペクトラム・エネルギー分散 📻 用途・FM放送・高品質音声通信・音楽放送 🎵 特徴・帯域幅が広い・雑音に強い・音質が優秀

6. ⚠️ よくある間違いと注意点

🚨 計算でよくある間違い

角周波数と周波数の混同
- ❌ ωm（rad/s）をそのまま使用
- ✅ fm = ωm/(2π) （Hz）に変換
片側だけの計算
- ❌ BW = Δf + fm
- ✅ BW = 2(Δf + fm) （両側考慮）
変調指数の定義間違い
- ❌ β = Δf × fm
- ✅ β = Δf / fm

⚠️ 理論と実用の違い
・理論的帯域幅：無限大
・Carson規則：実用帯域幅（98%のエネルギー）
・実際の規格：Carson規則＋ガードバンド
→ 用途に応じて適切な計算方法を選択！

7. 🎯 まとめ

🎓 重要ポイントの総復習

FM帯域幅：Carson規則 BW = 2(Δf + fm)
変調指数：β = Δf/fm でスペクトラム特性が決まる
狭帯域FM：β < 1、AMに近い、省電力
広帯域FM：β > 1、多数側波帯、高品質
Bessel関数：各側波帯の振幅を決定

📝 試験対策チェックリスト

✅ Carson規則を暗記・計算できる
✅ 変調指数βの意味を理解
✅ 狭帯域・広帯域FMの違いを説明できる
✅ 実用例（FM放送など）の計算ができる
✅ AMとFMの帯域幅の違いを理解