📐 FM変調指数とスペクトラム
ベッセル関数を図解で理解しよう - 中学数学から始める周波数解析
🎯 このページで学べること
✅ 変調指数βって何？なぜ重要？
✅ βの値でスペクトラムがどう変わるか
✅ ベッセル関数を怖がらずに理解
✅ 狭帯域FMと広帯域FMの違い
✅ 実際のFM信号の周波数分析
1. 🎚️ 変調指数βを音量調節で理解
🎵 音楽プレーヤーのイコライザーで考えよう
音楽プレーヤーのイコライザー（音質調整）のように：
- β = 0.5（小さい）： 低音を少しだけ上げる → 狭帯域FM
- β = 2.5（大きい）： 低音を大きく上げる → 広帯域FM
FMでは「周波数の変化の大きさ」をβで表現します！
⚠️ 直感的な理解
β値が大きい = 周波数の変化が激しい = 広い範囲の周波数を使う
β値が小さい = 周波数の変化が穏やか = 狭い範囲の周波数を使う
2. 🎭 βの値による性格の違い
β < 1（狭帯域FM：NBFM）
音楽で例えると「おとなしい演奏」：
・周波数の変化が小さい
・AMに似た特性
・通信用途（携帯電話など）
β ≈ 2.4（FMラジオの標準）
音楽で例えると「標準的な演奏」：
・適度な周波数変化
・音質と帯域幅のバランス
・民放FMラジオ
β > 5（広帯域FM：WBFM）
音楽で例えると「ダイナミックな演奏」：
・大きな周波数変化
・高音質だが広帯域
・高品質音楽放送
3. 📊 スペクトラムの視覚化
🎛️ 変調指数とスペクトラムの関係
現在のβ値での特徴：
標準的な変調指数
有効な側波帯数: 3個
4. 🧮 ベッセル関数って何？（中学生でもわかる説明）
🎪 サーカスのジャグリングで考えよう
ベッセル関数は「どのボールがどのくらい高く上がるか」を教えてくれる魔法の公式：
- ジャグラーの技術（β値）が低い： 中央のボール（搬送波）が一番高い
- 技術が中程度： 中央と隣のボールが同じくらい
- 技術が高い： 多くのボールが空中に舞う（多くの側波帯）
📚 実際の試験では...
ベッセル関数の値は表で与えられることが多いです。
重要なのは「βの値で側波帯の分布が変わる」という概念！
5. 📏 Carson則による帯域幅推定
Carson則の直感的理解
FM信号が使う帯域幅を簡単に計算する経験則：
「有効な側波帯がどこまで広がるか」を推定
Carson則の公式
$$B_{Carson} = 2(\Delta f + f_m) = 2f_m(\beta + 1)$$
これは98%のエネルギーを含む帯域幅
実用的な意味
この帯域幅を確保すれば、FM信号をほぼ完全に受信できる
Carson則の可視化デモ
Carson則の実用性：
- 実際のFM信号は無限の側波帯を持つが、重要なのは一部のみ
- Carson則で計算した帯域幅があれば、実用上十分な品質で受信可能
- 通信システムの設計時に帯域幅を見積もるのに使用
6. 📊 狭帯域FMと広帯域FMの比較
| 項目 |
狭帯域FM (β < 1) |
広帯域FM (β > 2) |
| 変調指数 |
β < 1 |
β > 2 |
| 帯域幅 |
≈ 2fm（AMと同じ） |
≫ 2fm（Carsonの式） |
| スペクトラム |
側波帯が少ない |
多数の側波帯 |
| S/N比 |
AMと同程度 |
AMより大幅改善 |
| 用途 |
携帯電話、業務無線 |
FMラジオ、テレビ音声 |
| 復調方式 |
傾斜検波で可能 |
位相検波が必要 |
7. 🎯 試験によく出る問題パターン
📝 頻出問題と解法のコツ
問題1：
「変調指数β=2.0のとき、Carson帯域幅は？」
解法： $B = 2f_m(\beta + 1) = 2f_m(2 + 1) = 6f_m$
問題2：
「Δf=5kHz、fm=2kHzのとき、βは？」
解法： $\beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{5000}{2000} = 2.5$
問題3：
「β=0.5は狭帯域？広帯域？」
解法： β < 1なので狭帯域FM（NBFM）
8. 🔬 実際のFM信号の解析例
📻 FMラジオの場合
設定値：
- 搬送波周波数: fc = 80MHz（80.0MHz）
- 最大周波数偏移: Δf = 75kHz
- 音声周波数: fm = 15kHz（最高音質）
計算：
- 変調指数: β = 75k/15k = 5.0
- Carson帯域幅: B = 2×15k×(5+1) = 180kHz
- 実際の割当帯域: 200kHz
9. 🎊 まとめ
🎓 覚えるべきポイント：
- β = Δf/fm で変調の深さを表現
- β < 1: 狭帯域FM、β > 2: 広帯域FM
- Carson帯域幅 = 2fm(β+1)
- ベッセル関数でスペクトラム分布を計算
- FMラジオはβ≈5の広帯域FM
🎉 変調指数とスペクトラム完全マスター！
βの値でFM信号の性格が決まることを理解できました！
次はCarson則と帯域幅計算について詳しく学びましょう 📏