🌊 第3章：波動方程式
🎯 この章で覚えること
マクスウェル方程式から波動方程式を導出し、電磁波がどのように伝わるかを理解しよう！
ここが理解できれば、電磁波の本質が見えてきます。
🔍 波動方程式って何？
波の伝播を表す微分方程式です。電磁波がどのように空間を伝わるかを数学的に記述します。
💡 イメージ
池に石を投げたときの波紋が広がる様子を数式で表したものです。
電磁波も同じように空間を伝わっていきます。
池に石を投げたときの波紋が広がる様子を数式で表したものです。
電磁波も同じように空間を伝わっていきます。
📐 波動方程式の導出
自由空間（何もない真空）でのマクスウェル方程式から波動方程式を導き出してみましょう。
📝 導出の手順
自由空間でのマクスウェル方程式：
$\nabla \cdot \vec{E} = 0$
$\nabla \cdot \vec{H} = 0$
$\nabla \times \vec{E} = -\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
$\nabla \times \vec{H} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
$\nabla \cdot \vec{H} = 0$
$\nabla \times \vec{E} = -\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
$\nabla \times \vec{H} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
手順1: ファラデーの法則の両辺の回転を取る
$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{H})$
手順2: ベクトル恒等式と修正アンペア法則を使用
$\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2\vec{E} = -\nabla^2\vec{E}$
$\nabla \times \vec{H} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
$\nabla \times \vec{H} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$
手順3: 代入して整理
$-\nabla^2\vec{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$
🎉 電界の波動方程式
$$\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$
同様に磁界についても：
$$\nabla^2\vec{H} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$$
⚠️ 使用した定数
- $\mu_0$：真空の透磁率 = $4\pi \times 10^{-7}$ [H/m]
- $\varepsilon_0$：真空の誘電率 = $8.85 \times 10^{-12}$ [F/m]
- $\mu_0\varepsilon_0$：= $1/c^2$ （$c$は光速）
💫 波動方程式の解
一般解
z方向に伝播する平面波の場合：
$$\vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - kz + \phi)$$
$$\vec{H}(z,t) = \vec{H}_0 \cos(\omega t - kz + \phi)$$
$$\vec{H}(z,t) = \vec{H}_0 \cos(\omega t - kz + \phi)$$
📊 パラメータの意味
- $\vec{E}_0, \vec{H}_0$：振幅ベクトル
- $\omega$：角周波数 [rad/s]
- $k$：波数 [rad/m]
- $\phi$：初期位相 [rad]
- $\omega t - kz$：位相（波の進行を表す）
⚡ 電磁波の速度
$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.998 \times 10^8 \text{ m/s}$$
これが光速です！
💡 すごい発見！
マクスウェルがこの式を導いたとき、計算結果が光の速度と一致することに気づきました。
これにより「光は電磁波である」ことが証明されたのです！
マクスウェルがこの式を導いたとき、計算結果が光の速度と一致することに気づきました。
これにより「光は電磁波である」ことが証明されたのです！
🔗 電界と磁界の関係
分散関係： $\omega^2 = k^2c^2$
位相速度： $v = \omega/k = c$
振幅関係： $|H_0| = |E_0|/Z_0$
位相速度： $v = \omega/k = c$
振幅関係： $|H_0| = |E_0|/Z_0$
🛡️ 波動インピーダンス
電界と磁界の比を表す特性インピーダンスです。
$$Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 377 \, \Omega$$
自由空間の波動インピーダンス
📝 波動インピーダンスの意味
電気回路の抵抗のようなもので、電磁波の「流れにくさ」を表します。
真空中では常に377Ωです。
🔄 電界と磁界の垂直関係
💡 重要な性質
電磁波では、電界（$\vec{E}$）と磁界（$\vec{H}$）と進行方向（$\vec{k}$）は
互いに垂直です！
$\vec{E} \perp \vec{H} \perp \vec{k}$ （横波）
電磁波では、電界（$\vec{E}$）と磁界（$\vec{H}$）と進行方向（$\vec{k}$）は
互いに垂直です！
$\vec{E} \perp \vec{H} \perp \vec{k}$ （横波）
電磁波の3次元構造：電界と磁界は互いに垂直に振動
📊 練習問題
問題：真空中を伝播する電磁波で、電界の振幅が1 V/mのとき、磁界の振幅を求めよ。
解答：
波動インピーダンスの関係式より
$Z_0 = E_0/H_0$
$H_0 = E_0/Z_0 = 1/377 \approx 2.65 \times 10^{-3}$ A/m
答え：$2.65 \times 10^{-3}$ A/m
解答：
波動インピーダンスの関係式より
$Z_0 = E_0/H_0$
$H_0 = E_0/Z_0 = 1/377 \approx 2.65 \times 10^{-3}$ A/m
答え：$2.65 \times 10^{-3}$ A/m
🔥 テストで狙われるポイント
- 波動方程式の形：$\nabla^2\vec{E} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$
- 光速：$c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$
- 波動インピーダンス：$Z_0 = 377$ Ω
- 電界と磁界の振幅関係：$|H_0| = |E_0|/Z_0$
- 電磁波は横波（$\vec{E} \perp \vec{H} \perp \vec{k}$）