📡 第8章：電信方程式（伝送線路方程式）
🎯 この章で覚えること
伝送線路上での電圧・電流の振る舞いを記述する電信方程式を理解しよう！
これが分かれば、高周波回路の解析ができるようになります。
🔌 伝送線路モデル
高周波では導線を伝送線路として扱います。これを分布定数回路でモデル化します。
📊 分布定数回路モデル
R
抵抗
[Ω/m]
L
インダクタンス
[H/m]
G
コンダクタンス
[S/m]
C
キャパシタンス
[F/m]
これらが線路全体に分布している！
💡 物理的意味
• R：導体の抵抗（損失）
• L：電流による磁場のエネルギー
• G：絶縁体の導電性（漏れ）
• C：導体間の電場のエネルギー
• R：導体の抵抗（損失）
• L：電流による磁場のエネルギー
• G：絶縁体の導電性（漏れ）
• C：導体間の電場のエネルギー
📐 電信方程式の導出
微小区間Δzでの電圧・電流の変化から方程式を導き出します。
📝 導出手順
ステップ1: 微小区間での電圧降下
$-\frac{\partial V}{\partial z} = RI + L\frac{\partial I}{\partial t}$
抵抗とインダクタンスによる電圧降下
ステップ2: 微小区間での電流の変化
$-\frac{\partial I}{\partial z} = GV + C\frac{\partial V}{\partial t}$
コンダクタンスとキャパシタンスによる電流変化
ステップ3: 電信方程式
$$\frac{\partial V}{\partial z} = -(R + j\omega L)I$$
$$\frac{\partial I}{\partial z} = -(G + j\omega C)V$$
$$\frac{\partial I}{\partial z} = -(G + j\omega C)V$$
🌊 電信方程式の解法
波動方程式への変換
電信方程式から電圧・電流についての波動方程式を導きます。
∂²V/∂z² = γ²V
∂²I/∂z² = γ²I
伝搬定数： γ = √((R + jωL)(G + jωC))
∂²I/∂z² = γ²I
伝搬定数： γ = √((R + jωL)(G + jωC))
一般解
V(z) = V⁺e^(-γz) + V⁻e^(γz)
I(z) = (V⁺e^(-γz) - V⁻e^(γz))/Z₀
V⁺：前進波の振幅、V⁻：後退波の振幅
Z₀：特性インピーダンス
I(z) = (V⁺e^(-γz) - V⁻e^(γz))/Z₀
V⁺：前進波の振幅、V⁻：後退波の振幅
Z₀：特性インピーダンス
💡 解の物理的意味
• 第1項：z方向に進む波（前進波）
• 第2項：-z方向に進む波（後退波、反射波）
• 一般的には進行波と反射波の重ね合わせ！
• 第1項：z方向に進む波（前進波）
• 第2項：-z方向に進む波（後退波、反射波）
• 一般的には進行波と反射波の重ね合わせ！
⚡ 特性インピーダンス
伝送線路固有のインピーダンスです。
Z₀ = √((R + jωL)/(G + jωC))
無損失の場合（R = G = 0）：
Z₀ = √(L/C)
無損失の場合（R = G = 0）：
Z₀ = √(L/C)
📊 代表的な特性インピーダンス
- 同軸ケーブル（50Ω）：測定器、無線機器
- 同軸ケーブル（75Ω）：TV、ビデオ機器
- ツイストペア（100Ω）：LAN（差動）
- マイクロストリップ：設計により調整可能
📊 伝搬定数の詳細
γ = α + jβ
α：減衰定数 [Np/m] または [dB/m]
β：位相定数 [rad/m]
α：減衰定数 [Np/m] または [dB/m]
β：位相定数 [rad/m]
減衰定数 α
波の振幅の減衰を表します。
V(z) = V₀e^(-αz) cos(ωt - βz)
z = 1/α で振幅が 1/e ≈ 0.37 倍
z = 1/α で振幅が 1/e ≈ 0.37 倍
位相定数 β
波の位相の変化を表します。
波長： λ = 2π/β
位相速度： v_p = ω/β
位相速度： v_p = ω/β
🔄 無損失線路の特殊な場合
R = G = 0 の理想的な線路では簡単になります。
γ = jω√(LC) = jβ
Z₀ = √(L/C)
v_p = 1/√(LC)
減衰なし（α = 0）、分散なし
Z₀ = √(L/C)
v_p = 1/√(LC)
減衰なし（α = 0）、分散なし
📐 同軸ケーブルの例
RG-58（50Ω）：
L ≈ 250 nH/m、C ≈ 100 pF/m
Z₀ = √(250×10⁻⁹/100×10⁻¹²) = 50 Ω
v_p = 1/√(250×10⁻⁹×100×10⁻¹²) ≈ 2×10⁸ m/s
🔢 境界条件と解の決定
線路の両端での条件により、V⁺とV⁻が決まります。
💡 一般的な境界条件
• 送端：電源電圧と内部抵抗
• 受端：負荷インピーダンス
• 整合：Z_L = Z₀ なら反射なし
• 不整合：Z_L ≠ Z₀ なら反射あり
• 送端：電源電圧と内部抵抗
• 受端：負荷インピーダンス
• 整合：Z_L = Z₀ なら反射なし
• 不整合：Z_L ≠ Z₀ なら反射あり
📊 練習問題
問題1：L = 250 nH/m、C = 100 pF/m の無損失線路の特性インピーダンスと位相速度を求めよ。
解答：
Z₀ = √(L/C) = √(250×10⁻⁹/100×10⁻¹²) = √2500 = 50 Ω
v_p = 1/√(LC) = 1/√(250×10⁻⁹×100×10⁻¹²) = 1/(5×10⁻⁹) = 2×10⁸ m/s
答え：Z₀ = 50 Ω、v_p = 2×10⁸ m/s
解答：
Z₀ = √(L/C) = √(250×10⁻⁹/100×10⁻¹²) = √2500 = 50 Ω
v_p = 1/√(LC) = 1/√(250×10⁻⁹×100×10⁻¹²) = 1/(5×10⁻⁹) = 2×10⁸ m/s
答え：Z₀ = 50 Ω、v_p = 2×10⁸ m/s
問題2：上記線路で 1GHz の信号の波長を求めよ。
解答：
β = ω/v_p = 2πf/v_p = 2π×10⁹/(2×10⁸) = 10π rad/m
λ = 2π/β = 2π/(10π) = 0.2 m = 20 cm
答え：20 cm
解答：
β = ω/v_p = 2πf/v_p = 2π×10⁹/(2×10⁸) = 10π rad/m
λ = 2π/β = 2π/(10π) = 0.2 m = 20 cm
答え：20 cm
🔥 テストで狙われるポイント
- 電信方程式：$\partial V/\partial z = -(R+j\omega L)I$、$\partial I/\partial z = -(G+j\omega C)V$
- 一般解：V(z) = V⁺e^(-γz) + V⁻e^(γz)
- 特性インピーダンス：Z₀ = √((R+jωL)/(G+jωC))
- 伝搬定数：γ = α + jβ
- 無損失線路：Z₀ = √(L/C)、v_p = 1/√(LC)
- 分布定数パラメータ（R、L、G、C）の物理的意味
- 数値計算（特性インピーダンス、位相速度、波長）