🔄 第9章：反射係数と定在波
🎯 この章で覚えること
インピーダンス不整合による反射現象と、それによって生じる定在波を理解しよう！
VSWRと正規化インピーダンスが重要なポイントです。
🔍 反射係数とは
伝送線路と負荷のインピーダンスが異なるとき、一部の電力が反射します。この反射の程度を表すのが反射係数です。
💡 イメージ
硬いボールを壁に投げたときの跳ね返りと同じです。
• 柔らかい壁（整合）→ あまり跳ね返らない
• 硬い壁（不整合）→ よく跳ね返る
硬いボールを壁に投げたときの跳ね返りと同じです。
• 柔らかい壁（整合）→ あまり跳ね返らない
• 硬い壁（不整合）→ よく跳ね返る
📐 反射係数の定義
$$\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}$$
$\Gamma$：反射係数（ガンマ）
$Z_L$：負荷インピーダンス
$Z_0$：特性インピーダンス
$\Gamma$：反射係数（ガンマ）
$Z_L$：負荷インピーダンス
$Z_0$：特性インピーダンス
💡 反射係数の性質
• 複素数：$\Gamma = |\Gamma|e^{j\phi}$
• 大きさ：$0 \leq |\Gamma| \leq 1$
• $|\Gamma| = 0$：完全整合（反射なし）
• $|\Gamma| = 1$：完全反射
• 複素数：$\Gamma = |\Gamma|e^{j\phi}$
• 大きさ：$0 \leq |\Gamma| \leq 1$
• $|\Gamma| = 0$：完全整合（反射なし）
• $|\Gamma| = 1$：完全反射
🔌 負荷インピーダンスの種類
🎯 整合負荷
Z_L = Z₀
Γ = 0
反射なし
🔴 短絡負荷
Z_L = 0
Γ = -1
完全反射（位相反転）
🔵 開放負荷
Z_L = ∞
Γ = +1
完全反射（同位相）
🟡 任意負荷
Z_L = R + jX
0 < |Γ| < 1
部分反射
🌊 定在波の形成
進行波と反射波が重ね合わさって定在波が形成されます。
🔄 定在波パターン
V(z) = V⁺[1 + Γe^(2jβz)]
I(z) = (V⁺/Z₀)[1 - Γe^(2jβz)]
I(z) = (V⁺/Z₀)[1 - Γe^(2jβz)]
電圧の振幅
|V(z)| = |V⁺||1 + Γe^(2jβz)|
最大値： V_max = |V⁺|(1 + |Γ|)
最小値： V_min = |V⁺|(1 - |Γ|)
最大値： V_max = |V⁺|(1 + |Γ|)
最小値： V_min = |V⁺|(1 - |Γ|)
📊 電圧定在波比（VSWR）
定在波の最大値と最小値の比で、不整合の程度を表します。
🎯 VSWRの定義
VSWR = V_max/V_min = (1 + |Γ|)/(1 - |Γ|)
逆に、VSWRから反射係数：
|Γ| = (VSWR - 1)/(VSWR + 1)
逆に、VSWRから反射係数：
|Γ| = (VSWR - 1)/(VSWR + 1)
VSWRと定在波パターンの関係
📈 VSWRの意味
- VSWR = 1：完全整合（理想状態）
- VSWR = 2：実用的な整合
- VSWR = ∞：完全反射
📡 VSWRの実用的な目安
- VSWR < 1.5：優秀な整合
- VSWR < 2.0：実用的な整合
- VSWR < 3.0：許容範囲
- VSWR > 3.0：改善が必要
🎯 正規化インピーダンス
計算を簡単にするため、特性インピーダンスで規格化したインピーダンスを使います。
z = Z/Z₀ = r + jx
z：正規化インピーダンス
r：正規化抵抗
x：正規化リアクタンス
z：正規化インピーダンス
r：正規化抵抗
x：正規化リアクタンス
正規化された反射係数：
Γ = (z - 1)/(z + 1)
Γ = (z - 1)/(z + 1)
💡 正規化の利点
• 計算が簡単になる
• 特性インピーダンスによらない普遍的な表現
• スミスチャートで直接使える
• z = 1 が整合条件
• 計算が簡単になる
• 特性インピーダンスによらない普遍的な表現
• スミスチャートで直接使える
• z = 1 が整合条件
🔧 周波数整合
特定の周波数でインピーダンス整合を取る技術です。
🎛️ 整合回路の例
λ/4変成器
λ/4の長さの線路を使ってインピーダンス変換
Z₁ = Z₀²/Z_L
スタブ整合
短絡または開放スタブを並列接続
リアクタンス成分をキャンセル
L型整合回路
L、Cを組み合わせてインピーダンス変換
狭帯域で有効
📏 線路上のインピーダンス
負荷から距離lだけ離れた点でのインピーダンスは：
Z(l) = Z₀ × (Z_L + jZ₀tan(βl))/(Z₀ + jZ_L tan(βl))
これを正規化すると：
z(l) = (z_L + j tan(βl))/(1 + jz_L tan(βl))
これを正規化すると：
z(l) = (z_L + j tan(βl))/(1 + jz_L tan(βl))
⚠️ 重要な特殊ケース
- l = λ/4：z(λ/4) = 1/z_L（インピーダンス反転）
- l = λ/2：z(λ/2) = z_L（インピーダンス繰り返し）
- 短絡線路：Z = jZ₀tan(βl)
- 開放線路：Z = -jZ₀cot(βl)
📊 練習問題
問題1：Z₀ = 50Ω の線路に Z_L = 100Ω を接続したときの反射係数とVSWRを求めよ。
解答：
Γ = (Z_L - Z₀)/(Z_L + Z₀) = (100 - 50)/(100 + 50) = 50/150 = 1/3
VSWR = (1 + |Γ|)/(1 - |Γ|) = (1 + 1/3)/(1 - 1/3) = (4/3)/(2/3) = 2
答え：Γ = 1/3、VSWR = 2
解答：
Γ = (Z_L - Z₀)/(Z_L + Z₀) = (100 - 50)/(100 + 50) = 50/150 = 1/3
VSWR = (1 + |Γ|)/(1 - |Γ|) = (1 + 1/3)/(1 - 1/3) = (4/3)/(2/3) = 2
答え：Γ = 1/3、VSWR = 2
問題2：VSWR = 3 のときの反射係数の大きさを求めよ。
解答：
|Γ| = (VSWR - 1)/(VSWR + 1) = (3 - 1)/(3 + 1) = 2/4 = 0.5
答え：|Γ| = 0.5
解答：
|Γ| = (VSWR - 1)/(VSWR + 1) = (3 - 1)/(3 + 1) = 2/4 = 0.5
答え：|Γ| = 0.5
🔥 テストで狙われるポイント
- 反射係数：$\Gamma = (Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$
- VSWR = (1 + |Γ|)/(1 - |Γ|)
- 正規化インピーダンス：z = Z/Z₀
- 特殊な負荷（短絡、開放、整合）での反射係数
- 線路上のインピーダンス変換
- λ/4変成器：Z₁ = Z₀²/Z_L
- 数値計算（Γ ↔ VSWR変換）