⚡ ポアソン方程式（Poisson Equation）
🎯 この章で学ぶこと
半導体中の静電ポテンシャル分布を支配するポアソン方程式について理解しよう！
pn接合、MOS構造、空乏層など、あらゆる半導体デバイスの動作原理の基礎となる重要な方程式です。
📖 ポアソン方程式とは？
ポアソン方程式は、電荷分布から静電ポテンシャル（電位）を求めるための偏微分方程式です。半導体工学では、空間電荷領域での電位分布を解析するために不可欠な基本方程式です。
🔬 物理的意味
「電位の2階微分（曲率） ∝ その点での電荷密度」
つまり、正電荷があるところでは電位が「凹」形に、負電荷があるところでは「凸」形に変化します。
⚡ 半導体中のポアソン方程式
3次元ポアソン方程式
$$\nabla^2 \psi = -\frac{\rho}{\varepsilon_s}$$1次元形（最もよく使用）
$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} = -\frac{\rho(x)}{\varepsilon_s}$$
各項の意味：
$\psi$: 静電ポテンシャル（電位）[V]
$\rho(x)$: 空間電荷密度 [C/cm³]
$\varepsilon_s$: 半導体の誘電率 [F/cm]
🔍 半導体中の電荷密度
半導体中では、以下の電荷が電位分布に影響します：
総電荷密度
$$\rho(x) = q[p(x) - n(x) + N_D^+(x) - N_A^-(x)]$$
各項の説明：
$p(x)$: 正孔濃度
$n(x)$: 電子濃度
$N_D^+(x)$: イオン化ドナー濃度（正電荷）
$N_A^-(x)$: イオン化アクセプター濃度（負電荷）
💡 電荷中性条件
熱平衡状態では、バルク領域で電荷中性が成り立ちます：
- n型： $n \approx N_D$, $p \ll N_D$ → $\rho \approx 0$
- p型： $p \approx N_A$, $n \ll N_A$ → $\rho \approx 0$
- 真性： $n = p = n_i$ → $\rho = 0$
📊 変数・記号の定義
| 記号 | 物理量 | 単位 | 備考 |
|---|---|---|---|
| $\psi$ | 静電ポテンシャル | [V] | 電位、電場の積分 |
| $E$ | 電界強度 | [V/cm] | $E = -\frac{d\psi}{dx}$ |
| $\rho$ | 空間電荷密度 | [C/cm³] | 正味の電荷密度 |
| $\varepsilon_s$ | 半導体誘電率 | [F/cm] | $\varepsilon_s = \varepsilon_r \varepsilon_0$ |
| $\varepsilon_r$ | 比誘電率 | [-] | Si: 11.7, GaAs: 13.1 |
| $\varepsilon_0$ | 真空誘電率 | [F/cm] | $8.854 \times 10^{-14}$ F/cm |
🔬 半導体デバイスへの応用
🔌 pn接合
空乏層：
- p側: $\rho = -qN_A$
- n側: $\rho = +qN_D$
段階接合の場合、放物線状の電位分布が得られます。
🎛️ MOS構造
反転層形成：
- 蓄積: $\rho > 0$ (多数キャリア増加)
- 空乏: $\rho \approx -qN_A$ (固定電荷のみ)
- 反転: $\rho < -qN_A$ (少数キャリア増加)
🏗️ ヘテロ接合
界面での電位不連続：
- バンド不連続
- 誘電率の違い
- 2DEG/2DHGの形成
⚡ ショットキー接合
金属-半導体界面：
- 表面準位の影響
- フェルミ準位ピニング
- 障壁高さの決定
📝 具体的な解法例
1. 段階pn接合の解
条件： p側（$x < 0$）に $N_A$、n側（$x > 0$）に $N_D$ が均一分布
空乏層内（$-x_p < x < x_n$）：
$$\begin{cases} \frac{d^2\psi}{dx^2} = \frac{qN_A}{\varepsilon_s} & (x < 0) \\ \frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{qN_D}{\varepsilon_s} & (x > 0) \end{cases}$$解：
$$\begin{cases} \psi(x) = \frac{qN_A}{2\varepsilon_s}x^2 + C_1 x + C_2 & (x < 0) \\ \psi(x) = -\frac{qN_D}{2\varepsilon_s}x^2 + C_3 x + C_4 & (x > 0) \end{cases}$$2. 線形勾配接合の解
条件： 不純物濃度が線形に変化 $N(x) = ax$
$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{qax}{\varepsilon_s}$$解： Airy関数を用いた表現
$$\psi(x) = -\frac{qa}{6\varepsilon_s}x^3 + C_1 x + C_2$$3. MOS構造の解
空乏層近似：
$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = \frac{qN_A}{\varepsilon_s}$$境界条件：
- $\psi(0) = \psi_s$（表面電位）
- $E(W) = 0$（空乏層端で電界ゼロ）
解：
$$\psi(x) = \psi_s + \frac{qN_A}{2\varepsilon_s}(x^2 - W^2)$$🎮 インタラクティブ シミュレーション
電位分布の可視化シミュレーション
パラメータを調整して、様々な条件下での電位分布を観察しよう！
青線：電位分布 ψ(x)、赤線：電界分布 E(x)
内蔵電位：0.7 V
空乏層幅：0.3 μm
🧮 重要な関係式
🎓 電界と電位の関係
電界は電位の負の勾配：
$$\vec{E} = -\nabla \psi$$1次元では：
$$E(x) = -\frac{d\psi}{dx}$$つまり：
$$\frac{dE}{dx} = -\frac{d^2\psi}{dx^2} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon_s}$$これはガウスの法則の1次元版です！
💡 境界条件の重要性
ポアソン方程式を解くには適切な境界条件が必要：
- ディリクレ境界条件： 電位 $\psi$ の値を指定
- ノイマン境界条件： 電界 $E = -d\psi/dx$ を指定
- 周期境界条件： 繰り返し構造
💡 重要なポイント
🔥 テストに出るポイント
- 符号の理解： $d^2\psi/dx^2 = -\rho/\varepsilon_s$ の負号
- 電界との関係： $E = -d\psi/dx$
- 空乏層近似： $\rho = \pm qN$ (定数)
- 境界条件： 連続性条件の適用
- 内蔵電位： $\psi_{bi} = V_T \ln(N_A N_D / n_i^2)$
⚠️ よくある間違い
- 符号ミス： 正電荷で電位が下に凸になることを忘れる
- 単位換算： cm系とm系の混在
- 境界条件： 電位と電界の連続性を無視
- 近似の適用範囲： 空乏層近似の限界
🎯 覚えるべき基本解
段階pn接合： 放物線状分布
線形勾配： 3次関数分布
均一電荷： $\psi(x) = -\frac{\rho x^2}{2\varepsilon_s} + C_1 x + C_2$
🌊 マクスウェル方程式との関係
ポアソン方程式は、マクスウェル方程式の静的な特殊ケースです。
電磁気学の基本原理からどのように導出されるかを詳しく学びたい方は：
📖 「マクスウェル方程式とポアソン方程式の関係」を読む →