📚 AM（振幅変調）Q&A

AM（Amplitude Modulation：振幅変調）は、情報信号に応じて搬送波の振幅を変化させる変調方式です。

変調度（Modulation Index）は、変調の深さを表すパラメータです。

🌊 周波数関係の基本

基本的な関係：

具体例：

• AMラジオ：$f_c$ = 500～1600kHz、$f_m$ = 20Hz～5kHz
• 音声通信：$f_c$ = 数MHz～数GHz、$f_m$ = 300Hz～3kHz

📊 変調度による波形変化

変調度0%（無変調）：

• 一定振幅の正弦波
• 包絡線が平坦
• 情報が含まれない

変調度50%：

• 包絡線が変調信号に追従
• 最大振幅：$1.5 A_c$
• 最小振幅：$0.5 A_c$
• 波形に歪みなし

変調度100%：

• 包絡線の変化が最大
• 最大振幅：$2 A_c$
• 最小振幅：$0$（瞬間的にゼロ）
• 効率的な電力利用

🔍 検波器の種類

1. 包絡線検波器（Envelope Detector）：

• ダイオード + RC回路
• 構造が簡単
• AMラジオで広く使用
• 変調度100%以下で動作

2. 同期検波器（Synchronous Detector）：

• 搬送波と同期した局部発振器使用
• 変調度制限なし
• 雑音特性良好
• 回路が複雑

3. 二乗検波器（Square Law Detector）：

• ダイオードの二乗特性利用
• 弱信号用
• 検波効率低い

4. プロダクト検波器（Product Detector）：

• DSB-SC、SSB信号用
• 局部発振器の周波数精度重要

📡 側波帯の基本概念

側波帯の生成：

AM信号：$s(t) = A_c[1 + m\cos(\omega_m t)]\cos(\omega_c t)$

周波数成分：

• 搬送波：$f_c$
• 上側波帯（USB）：$f_c + f_m$
• 下側波帯（LSB）：$f_c - f_m$

側波帯の特徴：

共通点：

• 両方とも同じ情報を含む
• 同じ電力レベル
• 搬送波を中心に対称配置

帯域幅：

総帯域幅 = $2 \times f_{m(max)}$

💡 実用例： AMラジオ（音声5kHz）の場合、総帯域幅は10kHzとなります。

効率面： 情報は冗長ですが、簡単な受信機で復調できる利点があります。

⚖️ AMとDSB-SCの比較

DSB-SC信号：

通常のAM信号：

項目	AM	DSB-SC
搬送波成分	あり	なし（抑圧）
電力効率	33%以下	100%
復調方法	包絡線検波	同期検波
受信機	簡単	複雑

📡 AM放送の周波数特性

AM放送の周波数帯域：

• 日本：531-1602 kHz（中波：MW）
• 国際：531-1611 kHz
• チャンネル間隔：9 kHz

中波の伝搬特性：

昼間の伝搬：

• 地表波による伝搬
• 到達距離：約50-100km
• 安定した受信

夜間の伝搬：

• 電離層反射による遠距離伝搬
• 到達距離：数百～数千km
• フェージング現象

電波伝搬の物理：

波長：$\lambda = \frac{c}{f} \approx \frac{300}{f[MHz]}$ [m]

1MHzでの例：

$\lambda = 300$ m

💡 実用面：

• 車載受信に適している
• 建物内への電波侵入が良好
• アンテナサイズが適度

制約：

• 音質は制限される（5kHz帯域）
• 夜間の混信
• 工業雑音の影響

📏 変調度測定の基本

1. オシロスコープ法：

• AM波形を直接観測
• 包絡線の最大・最小値を測定
• 最も直感的な方法

変調度 = $\frac{V_{max} - V_{min}}{V_{max} + V_{min}} \times 100\%$

2. スペクトラムアナライザ法：

• 搬送波と側波帯の電力比を測定
• 高精度な測定が可能
• 複数の変調信号も分析可能

$m = 2\sqrt{\frac{P_{side}}{P_{carrier}}}$

3. 変調度メータ法：

• 専用測定器使用
• リアルタイム監視
• 放送局で使用

4. 検波出力測定法：

• 包絡線検波器で復調
• 出力信号レベルから算出
• 受信機での確認に有効

測定時の注意点：

• 測定器の帯域幅
• 負荷インピーダンスの影響
• 温度安定性
• 校正の実施

💡 実用技術： 現代では、デジタルオシロスコープやスペクトラムアナライザによる自動測定が一般的です。

⚠️ AM信号の歪みの種類

1. 過変調歪み：

• 原因：変調度が100%を超過
• 現象：包絡線が負になる部分で信号が欠落
• 対策：変調度制限、AGC使用

2. 周波数歪み：

• 原因：増幅器の周波数特性不良
• 現象：音声の周波数成分が不均等に増幅
• 対策：広帯域増幅器、等化回路

3. 非線形歪み：

• 原因：増幅器の非線形特性
• 現象：高調波成分の発生
• 対策：動作点調整、負帰還

4. 位相歪み：

• 原因：回路の位相特性不良
• 現象：群遅延特性の悪化
• 対策：位相等化回路

5. 検波歪み：

• 原因：検波器の時定数不適切
• 現象：対角クリッピング
• 対策：時定数最適化

歪み測定方法：

• 全高調波歪率（THD）測定
• 相互変調歪み（IMD）測定
• スペクトラム解析

品質基準： 放送用では通常THD 1%以下、高品質用途では0.1%以下が要求されます。

🔧 AM送受信機の構成

AM送信機の構成：

1. 音声入力部：マイク、前置増幅器
2. 変調部：AM変調器（乗算器）
3. 搬送波発振器：水晶発振器、逓倍器
4. 電力増幅部：ドライバ、最終増幅器
5. 出力部：整合回路、アンテナ

変調方式による分類：

• 低レベル変調：小電力で変調後に増幅
• 高レベル変調：最終段で変調（高効率）

AM受信機の構成（スーパーヘテロダイン）：

1. アンテナ回路：電波捕捉、初段選択
2. RF増幅器：高周波増幅、感度向上
3. 周波数変換器：ミキサ + 局部発振器
4. IF増幅器：中間周波増幅、選択度確保
5. 検波器：包絡線検波、AGC検出
6. 音声増幅器：低周波増幅、出力

重要な回路要素：

• AGC：自動利得制御
• AFC：自動周波数制御（高級機）
• ノイズブランカ：雑音除去

💡 現代の技術：

• DSPによるデジタル処理
• ソフトウェア無線（SDR）
• ダイレクトコンバージョン

設計考慮点：

• 感度と選択度のバランス
• イメージ周波数の除去
• 局部発振器の安定性
• 相互変調歪みの抑制

AM信号の展開過程：

ヒルベルト変換（Hilbert Transform）は、信号の位相を90°遅らせる線形変換です。

DSB-SC（Double Side Band - Suppressed Carrier）は搬送波成分を除去した変調方式です。

📊 FM信号スペクトラムの理論解析

FM信号の数式表現：

ベッセル関数展開：

FM信号の展開：

スペクトラム成分：

• 搬送波：$\omega_c$ で振幅 $A_c J_0(\beta)$
• 第1側波：$\omega_c \pm \omega_m$ で振幅 $A_c J_1(\beta)$
• 第n側波：$\omega_c \pm n\omega_m$ で振幅 $A_c J_n(\beta)$

⏱️ 包絡線検波器の時定数設計

包絡線検波器の構成：

• ダイオード + RC並列回路
• 時定数：$\tau = RC$

設計条件：

$\frac{1}{\omega_c} << \tau << \frac{1}{\omega_m}$

下限制約（搬送波追従性）：

• 搬送波の半周期より十分大きく
• $\tau >> \frac{1}{2f_c}$
• 搬送波リップルの除去

上限制約（変調波追従性）：

• 最高変調周波数の周期より小さく
• $\tau << \frac{1}{f_{m(max)}}$
• 包絡線の忠実再現

対角クリッピング条件：$\tau < \frac{\sqrt{1-m^2}}{m \omega_m}$

設計例（AMラジオ）：

• $f_c$ = 1MHz, $f_m$ = 5kHz
• $1μs << \tau << 200μs$
• 実用値：$\tau$ ≈ 50μs

設計トレードオフ： 時定数が小さすぎると搬送波リップル、大きすぎると歪みが発生

🔧 Q値と帯域幅の理論関係

Q値の定義：

$Q = \frac{f_0}{BW} = \frac{\text{共振周波数}}{\text{3dB帯域幅}}$

LC並列共振回路：

$Q = R\sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

周波数特性：

$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega})^2}}$

AM受信機での要求仕様：

選択度要求：

• 通過帯域：±5kHz（音声AM）
• 阻止帯域：±9kHz（隣接チャンネル）
• IF周波数：455kHz

最適Q値の設計：

$Q_{opt} = \frac{455000}{10000} = 45.5$

多段増幅器での総合特性：

$BW_{total} = BW_{single} \times \sqrt{2^{1/n} - 1}$

💡 実用設計： 3段IF増幅器の場合、各段のQ値を約35程度に設定し、総合帯域幅を10kHzに調整します。

設計注意点： Q値が高すぎると群遅延特性が悪化し、音質に影響を与えます。

⚡ クラスC増幅器効率理論

動作原理：

• 導通角：$\theta < 180°$
• バイアス：カットオフ以下
• 高効率動作

コレクタ電流波形：

$i_c(t) = I_{max} \cos(\omega t)$ for $-\frac{\theta}{2} \leq \omega t \leq \frac{\theta}{2}$

フーリエ級数展開：

$i_c(t) = I_0 + I_1 \cos(\omega t) + I_2 \cos(2\omega t) + ...$

フーリエ係数：

$I_0 = \frac{I_{max}}{2\pi}(\sin\frac{\theta}{2} - \frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2})$

$I_1 = \frac{I_{max}}{\pi}(\sin\frac{\theta}{2} - \frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2})$

電力計算：

• DC入力電力：$P_{DC} = V_{CC} \cdot I_0$
• 基本波出力電力：$P_{out} = \frac{1}{2} V_1 I_1$
• 効率：$\eta = \frac{P_{out}}{P_{DC}}$

効率：$\eta = \frac{V_1}{2V_{CC}} \cdot \frac{I_1}{I_0}$

最大効率（理論値）：

• 導通角120°：約78%
• 導通角90°：約85%
• 導通角60°：約90%

実用上の制約：

• 導通角が小さすぎると利得低下
• 高調波成分の増加
• 線形性の劣化

🌊 ヒルベルト変換によるSSB生成理論

ヒルベルト変換の定義：

$\hat{m}(t) = \mathcal{H}[m(t)] = m(t) * \frac{1}{\pi t}$

周波数領域での表現：

$\hat{M}(\omega) = -j \text{sgn}(\omega) M(\omega)$

SSB信号生成（位相法）：

$s_{USB}(t) = m(t)\cos(\omega_c t) - \hat{m}(t)\sin(\omega_c t)$

$s_{LSB}(t) = m(t)\cos(\omega_c t) + \hat{m}(t)\sin(\omega_c t)$

複素包絡線表現：

$m_+(t) = m(t) + j\hat{m}(t)$ （解析信号）

$s_{SSB}(t) = \text{Re}[m_+(t) e^{j\omega_c t}]$

フーリエ変換による証明：

$M_+(\omega) = \begin{cases} 2M(\omega) & \omega > 0 \\ M(0) & \omega = 0 \\ 0 & \omega < 0 \end{cases}$

理論的利点：

• 完全な側波帯抑圧
• 任意の変調信号に適用可能
• 線形演算のみで実現

実装上の課題：

• 理想的なヒルベルト変換器の実現困難
• 位相精度の要求が厳しい
• 広帯域にわたる90°移相回路が必要

💡 実用近似： デジタル信号処理では、FIRフィルタで近似的にヒルベルト変換を実現できます。

与えられた条件：

• 搬送波電力：$P_c = 100W$
• 変調度：$m = 0.8$

与えられた条件：

• 信号周波数：$f_m = 1kHz = 1000Hz$
• 搬送波周波数：$f_c = 1MHz = 1,000,000Hz$

与えられた条件：

• 最大振幅：$V_{max} = 10V$
• 最小振幅：$V_{min} = 2V$

AM放送の技術規格：

包絡線検波回路の構成要素：

📊 AM電力計算の基本

与えられた条件：

• 搬送波電力：$P_c = 50$ W
• 変調度：$m = 0.6$ (60%)

側波電力の計算：

$P_{sb} = \frac{m^2}{4} \cdot P_c = \frac{(0.6)^2}{4} \times 50$

計算過程：

$P_{sb} = \frac{0.36}{4} \times 50 = 0.09 \times 50 = 4.5$ W

総電力の計算：

$P_{total} = P_c + P_{sb} = 50 + 4.5 = 54.5$ W

答え：

• 総電力：54.5 W
• 側波電力：4.5 W
• 上側波帯：2.25 W
• 下側波帯：2.25 W

💡 確認： 電力効率 = $\frac{4.5}{54.5} \times 100\% = 8.26\%$

🎵 複数信号によるAMスペクトラム

変調信号：

$m(t) = A_1 \cos(2\pi f_1 t) + A_2 \cos(2\pi f_2 t)$

ここで：$f_1 = 2$ kHz, $f_2 = 5$ kHz

AM信号（変調度50%と仮定）：

$s(t) = A_c[1 + 0.25\cos(2\pi \cdot 2000 t) + 0.25\cos(2\pi \cdot 5000 t)]\cos(2\pi f_c t)$

スペクトラム成分（$f_c = 1$ MHz）：

周波数 [MHz]	成分	振幅
0.995	LSB (5kHz)	$\frac{A_c}{8}$
0.998	LSB (2kHz)	$\frac{A_c}{8}$
1.000	搬送波	$A_c$
1.002	USB (2kHz)	$\frac{A_c}{8}$
1.005	USB (5kHz)	$\frac{A_c}{8}$

重要な特徴：

• 各変調周波数に対して対称な側波成分
• 合計で4つの側波成分
• 総帯域幅：10kHz（最高変調周波数の2倍）

注意： 変調度が100%を超えないよう、各成分の変調度を調整する必要があります。

📈 包絡線検波器のリップル解析

与えられた条件：

• 時定数：$\tau = RC = 100$ μs
• 搬送波周波数：$f_c = 1$ MHz
• 搬送波角周波数：$\omega_c = 2\pi \times 10^6$ rad/s

検波出力の解析：

包絡線検波器出力には搬送波周波数成分が残存します。

減衰率 = $\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c \tau)^2}}$

計算過程：

$\omega_c \tau = 2\pi \times 10^6 \times 100 \times 10^{-6} = 628.3$

減衰率 = $\frac{1}{\sqrt{1 + (628.3)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 394840}} = \frac{1}{628.3} = 0.00159$

リップル率の計算：

リップル率 = $\frac{\text{搬送波成分振幅}}{\text{DC成分振幅}} \times 100\%$

リップル率 = $0.00159 \times 100\% = 0.159\%$

答え：0.159%

💡 設計指針： 一般的にリップル率は1%以下が望ましく、この設計は十分な性能を持っています。

注意： 時定数を大きくしすぎると、変調信号への追従性が劣化します。

📻 スーパーヘテロダイン受信機の周波数計算

与えられた条件：

• 局発周波数：$f_{LO} = 1455$ kHz
• 中間周波数：$f_{IF} = 455$ kHz（標準）

基本関係式：

$f_{IF} = |f_{LO} - f_{RF}|$

受信信号周波数の計算：

ケース1（上側注入）：

$f_{RF} = f_{LO} - f_{IF} = 1455 - 455 = 1000$ kHz

ケース2（下側注入）：

$f_{RF} = f_{LO} + f_{IF} = 1455 + 455 = 1910$ kHz

イメージ周波数の計算：

通常は上側注入を使用するため：

$f_{image} = f_{RF} + 2 \times f_{IF} = 1000 + 2 \times 455 = 1910$ kHz

答え：

• 受信信号周波数：1000 kHz
• イメージ周波数：1910 kHz
• 周波数分離：910 kHz

💡 実用例： 1000kHzはAMラジオの中波帯域内で、1910kHzは帯域外のためイメージ除去フィルタで抑圧できます。

設計考慮点： イメージ周波数の抑圧には、RF段でのプリセレクタが重要です。

⚖️ バランス変調器の搬送波抑圧

与えられた条件：

• 搬送波漏れ：-40 dB

搬送波抑圧比の定義：

搬送波抑圧比 [dB] = $20 \log_{10}\left(\frac{V_{carrier\_desired}}{V_{carrier\_actual}}\right)$

-40dBの意味：

-40 \text{ dB} = 20 \log_{10}\left(\frac{V_{actual}}{V_{reference}}\right)

\frac{V_{actual}}{V_{reference}} = 10^{-40/20} = 10^{-2} = 0.01

搬送波抑圧比：

搬送波抑圧比 = -(-40) = +40 \text{ dB}

電力比での表現：

電力比 = 10^{40/10} = 10^4 = 10000:1

答え：

• 搬送波抑圧比：40 dB
• 電圧比：100:1
• 電力比：10000:1

💡 実用評価： 40dBの抑圧比は一般的な用途では十分ですが、高品質通信では50dB以上が望ましいです。

改善方法：

• 回路素子の精密マッチング
• 調整可能な位相・振幅バランス回路
• 多段バランス変調

📊 検波方式によるS/N比比較

与えられた条件：

• 入力S/N比：20 dB
• 変調度：$m = 1$（100%）と仮定

入力S/N比の線形値：

$\frac{S}{N}_{input} = 10^{20/10} = 100$

包絡線検波の場合：

包絡線検波後のS/N比改善係数：

$\gamma_{envelope} = \frac{m^2}{2 + m^2}$

$\gamma_{envelope} = \frac{1^2}{2 + 1^2} = \frac{1}{3} = 0.333$

$\left(\frac{S}{N}\right)_{envelope} = 100 \times 0.333 = 33.3$

$\left(\frac{S}{N}\right)_{envelope} = 10 \log_{10}(33.3) = 15.2$ dB

同期検波の場合：

同期検波のS/N比改善係数：

$\gamma_{sync} = \frac{m^2}{4}$

$\gamma_{sync} = \frac{1^2}{4} = 0.25$

$\left(\frac{S}{N}\right)_{sync} = 100 \times 0.25 = 25$

$\left(\frac{S}{N}\right)_{sync} = 10 \log_{10}(25) = 14.0$ dB

答え：

• 包絡線検波：15.2 dB
• 同期検波：14.0 dB
• 包絡線検波が1.2 dB優位

注意： この結果は100%変調時の理論値です。実際は変調度や雑音特性により異なります。

💡 実用面： 同期検波は変調度制限がなく、低変調度でも性能が安定しています。

📊 側波電力の計算

側波電力の公式：

計算過程：

• キャリア電力：$P_c = 100$ W
• 変調度：$m = 1$（100%）
• 側波電力：$P_{sb} = \frac{1^2}{4} \times 100 = 25$ W

⚡ DSB-SCの電力効率

DSB-SC信号：

電力計算：

• 総電力：$P_{total} = \frac{1}{2} \overline{m^2(t)}$
• 情報電力：$P_{info} = P_{total}$（キャリアなし）
• 無駄電力：$P_{waste} = 0$

📈 対角クリッピング歪み

発生条件：

• 変調度が100%を超える（過変調）
• 包絡線が負の値になる部分で発生

歪みのメカニズム：

1. 包絡線が0以下になる
2. 検波器は負の包絡線を検出できない
3. 信号波形が「切り取られる」
4. 高調波成分が発生

📺 VSB変調の利点

テレビ信号の特徴：

• 広い周波数帯域（映像：6MHz）
• 低周波成分が重要（DC成分含む）
• チャンネル間隔の制限

VSBの優位性：

📊 AMスペクトラム解析

入力信号：

展開：

周波数スペクトラム：

• キャリア： $f_c$ で振幅 $A_c$
• 上側波： $f_c + f_m$ で振幅 $\frac{mA_c}{2}$
• 下側波： $f_c - f_m$ で振幅 $\frac{mA_c}{2}$

🔄 AGC回路の動作原理

目的：

• 受信信号レベルの変動を自動補正
• 復調出力の一定化
• 過負荷の防止

基本構成：

1. 検波器：AM信号を復調
2. AGC検出器：信号レベルを検出
3. 制御電圧生成：フィルタで平滑化
4. 可変利得増幅器：制御電圧で利得調整

動作特性：

🎵 C-QUAM方式の特徴

C-QUAM（Compatible Quadrature Amplitude Modulation）

基本原理：

ここで：

• L：左チャンネル信号
• R：右チャンネル信号
• L+R：モノラル成分（既存受信機対応）
• L-R：ステレオ差信号

送信信号の構成：

復調方式：

1. 包絡線検波でL+R抽出
2. 同期検波でL-R抽出
3. マトリクス演算でL, R復元

🔄 同期検波と位相誤差

同期検波の基本式：

検波出力：

LPF後：

コスタスループの動作：

1. I, Q両チャンネルで検波
2. 位相誤差検出：$e = I \cdot Q$
3. VCOの位相制御
4. 位相同期の確立