📊 AM変調効率の完全解説

変調度mと効率ηの関係 - 最大効率η=1/3の導出

🎯 このページで学べること
・AM変調効率の定義と物理的意味
・変調度mに依存する効率式の完全導出
・最大効率η=1/3になる理由
・単位を落とさないための注意点

1. 📚 AM変調効率とは？

💡 変調効率の定義
変調効率 η = 情報を運ぶ電力 ÷ 総送信電力
つまり「送信電力のうち、どれだけが実際の情報伝送に使われているか」を表す指標です。

⚠️ 重要な前提
ここではDSB-LC（Large Carrier）、つまり搬送波成分を含む通常のAM変調を扱います。
DSB-SC（Suppressed Carrier）とは異なることに注意！

2. 🔄 AM信号の数式

AM信号：
$$s(t) = A_c[1 + m \cos(\omega_m t)] \cos(\omega_c t)$$

各パラメータの意味：

$A_c$：搬送波の振幅
$m$：変調度（0 ≤ m ≤ 1）
$\omega_m$：情報信号の角周波数
$\omega_c$：搬送波の角周波数

📊 変調度による波形の変化

3. ⚡ 電力の計算

🔍 Step-by-Stepの電力導出

AM信号を展開
$$s(t) = A_c[1 + m \cos(\omega_m t)] \cos(\omega_c t)$$ $$= A_c \cos(\omega_c t) + A_c m \cos(\omega_m t) \cos(\omega_c t)$$

積を和に変換（三角関数の公式）
$$\cos(\omega_m t) \cos(\omega_c t) = \frac{1}{2}[\cos(\omega_c + \omega_m)t + \cos(\omega_c - \omega_m)t]$$

最終的なAM信号
$$s(t) = A_c \cos(\omega_c t) + \frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c + \omega_m)t + \frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c - \omega_m)t$$

🎯 3つの成分に分解：
① 搬送波成分：$A_c \cos(\omega_c t)$
② 上側波帯：$\frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c + \omega_m)t$
③ 下側波帯：$\frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c - \omega_m)t$

電力の基本公式の確認
正弦波 $A \cos(\omega t + \phi)$ の平均電力は：
$$P = \frac{1}{T} \int_0^T A^2 \cos^2(\omega t + \phi) dt$$
$\cos^2(\omega t + \phi)$ の時間平均は $\frac{1}{2}$ なので：
$$\boxed{P = \frac{A^2}{2}}$$

💡 重要： これは抵抗に正規化した電力値です

各成分の電力計算
AM信号の3成分に電力公式を適用：

① 搬送波電力：
成分：$A_c \cos(\omega_c t)$ → 振幅 = $A_c$
$$P_c = \frac{A_c^2}{2}$$

② 上側波帯電力：
成分：$\frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c + \omega_m)t$ → 振幅 = $\frac{A_c m}{2}$
$$P_{USB} = \frac{1}{2} \left(\frac{A_c m}{2}\right)^2$$

詳細：$P_{USB} = \frac{1}{2} \times \frac{A_c^2 m^2}{4} = \frac{A_c^2 m^2}{8}$

③ 下側波帯電力：
成分：$\frac{A_c m}{2} \cos(\omega_c - \omega_m)t$ → 振幅 = $\frac{A_c m}{2}$
$$P_{LSB} = \frac{1}{2} \left(\frac{A_c m}{2}\right)^2$$

詳細：$P_{LSB} = \frac{1}{2} \times \frac{A_c^2 m^2}{4} = \frac{A_c^2 m^2}{8}$

🔍 計算の詳細確認：
振幅 $\frac{A_c m}{2}$ を2乗すると：$\left(\frac{A_c m}{2}\right)^2 = \frac{A_c^2 m^2}{4}$
これに$\frac{1}{2}$をかけて：$\frac{1}{2} \times \frac{A_c^2 m^2}{4} = \frac{A_c^2 m^2}{8}$

P_SB（側波帯電力）の導出
情報を運ぶのは側波帯成分のみです：
$$P_{SB} = P_{USB} + P_{LSB}$$
$$P_{SB} = \frac{A_c^2 m^2}{8} + \frac{A_c^2 m^2}{8} = \frac{2 A_c^2 m^2}{8}$$
$$\boxed{P_{SB} = \frac{A_c^2 m^2}{4}}$$

🎯 なぜ側波帯が2つ？
AM変調では、情報信号の周波数成分が搬送波の上下両側に現れます：
・上側波帯（USB）：$f_c + f_m$
・下側波帯（LSB）：$f_c - f_m$
両方とも同じ情報を含み、同じ電力を持ちます。

P_total（総送信電力）の導出
送信される電力は全成分の電力の和です：
$$P_{total} = P_c + P_{USB} + P_{LSB}$$
$$P_{total} = P_c + P_{SB}$$
$$P_{total} = \frac{A_c^2}{2} + \frac{A_c^2 m^2}{4}$$

$A_c^2$ でまとめる計算：
$$P_{total} = \frac{A_c^2}{2} + \frac{A_c^2 m^2}{4}$$

Step 1: 分母を4に統一
$\frac{A_c^2}{2} = \frac{2A_c^2}{4}$ なので：
$P_{total} = \frac{2A_c^2}{4} + \frac{A_c^2 m^2}{4}$

Step 2: 分子をまとめる
$P_{total} = \frac{2A_c^2 + A_c^2 m^2}{4} = \frac{A_c^2(2 + m^2)}{4}$

$$\boxed{P_{total} = \frac{A_c^2}{4}(2 + m^2)} = \frac{A_c^2}{2}\left(1 + \frac{m^2}{2}\right)$$

⚖️ 電力配分の理解：
・搬送波：$\frac{A_c^2}{2}$ （一定）
・側波帯：$\frac{A_c^2 m^2}{4}$ （$m^2$に比例）
→ 変調度が大きいほど情報電力が増加

4. 📊 効率式の導出

変調効率の定義
$$\eta = \frac{\text{情報を運ぶ電力}}{\text{総送信電力}} = \frac{P_{SB}}{P_{total}}$$

🎯 効率式の完全導出

電力比の基本式
導出したP_SBとP_totalを代入：
$$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{total}} = \frac{\frac{A_c^2 m^2}{4}}{\frac{A_c^2}{4}(2 + m^2)}$$

💡 分子：$P_{SB} = \frac{A_c^2 m^2}{4}$
💡 分母：$P_{total} = \frac{A_c^2(2 + m^2)}{4}$

共通因子の約分
分子と分母に共通する$\frac{A_c^2}{4}$を約分：
$$\eta = \frac{\frac{A_c^2 m^2}{4}}{\frac{A_c^2(2 + m^2)}{4}} = \frac{A_c^2 m^2}{A_c^2(2 + m^2)} = \frac{m^2}{2 + m^2}$$

✅ $A_c^2$と$\frac{1}{4}$が消えて、$m$だけの式になった！

🎉 AM変調効率の最終式
$$\boxed{\eta = \frac{m^2}{2 + m^2}}$$

ここで $m$ は変調度（0 ≤ m ≤ 1）

5. 🎯 最大効率η=1/3の証明

💡 最大効率の導出

効率の最大値を求める
効率式：$\eta = \frac{m^2}{2 + m^2}$
変調度の制約：$0 \leq m \leq 1$

微分による解析（商の微分法）
効率式を$m$で微分して最大値を求めます：
$$\frac{d\eta}{dm} = \frac{d}{dm}\left(\frac{m^2}{2 + m^2}\right)$$ 商の微分法：$\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$を適用

Step 1: 分子と分母を特定
$f = m^2$ → $f' = 2m$
$g = 2 + m^2$ → $g' = 2m$

Step 2: 商の微分法を適用
$\frac{d\eta}{dm} = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{2m(2 + m^2) - m^2(2m)}{(2 + m^2)^2}$

Step 3: 分子を展開・整理
分子 = $2m(2 + m^2) - m^2(2m)$
= $4m + 2m^3 - 2m^3$
= $4m$

$$\frac{d\eta}{dm} = \frac{4m}{(2 + m^2)^2}$$

導関数の符号解析
$\frac{d\eta}{dm} = \frac{4m}{(2 + m^2)^2}$

$m \geq 0$ の範囲では：
・分子 $4m \geq 0$
・分母 $(2 + m^2)^2 > 0$

したがって $\frac{d\eta}{dm} \geq 0$ （$m > 0$ で等号成立しない）
→ 効率は $m$ について単調増加

最大値の計算
効率は単調増加なので、最大値は $m = 1$ で達成：
$$\eta_{max} = \frac{1^2}{2 + 1^2} = \frac{1}{3}$$

🏆 AM変調の最大効率
$$\boxed{\eta_{max} = \frac{1}{3} \approx 33.3\%}$$

これは $m = 1$（100%変調）のときに達成される

5. 🤔 なぜAM効率は低いのか？

🔑 核心的な問題：
AM変調では、情報を運ばない搬送波が電力の大部分を消費している！

📊 電力配分の分析（m = 1の場合）

成分	電力	割合	役割
搬送波	A_c²/2	67%	情報なし（無駄）
側波帯	A_c²/4	33%	情報を運ぶ（有用）

❌ AM変調の根本的な限界：
• 搬送波は情報を運ばないのに電力を消費
• 最高効率でも66.7%の電力が無駄
• これがDSB-SC（搬送波抑圧）やSSB変調が開発された理由

6. 📈 効率と変調度の関係

効率の数値例

変調度 m	m²	2 + m²	効率 η = m²/(2+m²)	効率（%）
0	0	2	0	0%
0.3	0.09	2.09	0.043	4.3%
0.5	0.25	2.25	0.111	11.1%
0.7	0.49	2.49	0.197	19.7%
0.9	0.81	2.81	0.288	28.8%
1.0	1	3	1/3 ≈ 0.333	33.3%

🔵 搬送波電力

$P_c = \frac{A_c^2}{2}$

常に一定

情報は運ばない

🟢 側波帯電力

$P_{SB} = \frac{A_c^2 m^2}{4}$

$m^2$ に比例

情報を運ぶ

7. ⚠️ 単位を落とさないための注意点

🚨 よくある間違い

電力と電圧の混同
- ❌ 振幅 $A$ をそのまま電力として計算
- ✅ 電力は $\frac{A^2}{2}$ （実効値の2乗）
側波帯の数え忘れ
- ❌ 上側波帯のみで計算
- ✅ 上側＋下側波帯の両方を含める
効率の定義間違い
- ❌ $\eta = \frac{P_{SB}}{P_c}$ （搬送波との比）
- ✅ $\eta = \frac{P_{SB}}{P_{total}}$ （総電力との比）

📝 試験対策のチェックポイント

✅ AM信号の3成分分解ができる
✅ 各成分の電力計算ができる
✅ 効率式 $\eta = \frac{m^2}{2+m^2}$ を導出できる
✅ 最大効率1/3の理由を説明できる
✅ 変調度と効率の関係を理解している

8. 🎓 まとめ

🎯 重要ポイントの総復習

AM効率の本質：送信電力のうち情報伝送に使われる割合
効率式：$\eta = \frac{m^2}{2+m^2}$ （変調度mに依存）
最大効率：η = 1/3 ≈ 33.3% （m=1のとき）
効率が低い理由：搬送波が電力を消費するが情報を運ばない
改善方法：DSB-SCやSSBなど搬送波を抑圧する方式

💡 なぜAMの効率は低いのか？
AM（DSB-LC）では搬送波成分が常に存在し、これが総電力の大部分を占めます。しかし搬送波は情報を運ばないため、効率が悪くなります。これがDSB-SCやSSBが開発された理由です！